Антимагические квадраты

[Yadryara]

Nataly-Mak в сообщении #840441 писал(а):

Надо проверить, действительно ли эти простые числа являются последовательными.
Первое простое число - 4164532312868707261.

А Вы пробовали онлайн-проверку простоты? Например, здесь:

http://ru.numberempire.com/primenumbers.php

Nataly-Mak в сообщении #840441 писал(а):

А следующие простые числа получаются прибавлением к первому простому числу элементов квадрата Стенли:
6, 10, 16, 18, ... , 82

Всего получится 16 простых чисел, которые должны быть последовательными.

Ну я проверил для 0, 6 и 10 — так и есть, последовательные простые. Если Вы доверяете этому ресурсу, то можете дальше проверить сами. Это займет считанные минуты.

[Nataly-Mak]

Yadryara в сообщении #840442 писал(а):

А Вы пробовали онлайн-проверку простоты? Например, здесь...

Большое спасибо. Я не знала о такой возможности.
Сейчас попробую.

[Jarek]

Nataly-Mak в сообщении #840441 писал(а):

Кстати, не могу даже проверить это решение Andersen:

Цитата:

The first case is 4164532312868707261 added to each of the 16 numbers:
0 6 18 30
10 16 28 40
42 48 60 72
52 58 70 82

потому что у меня нет таких больших простых чисел.
У кого-нибудь есть?

Всего получится 16 простых чисел, которые должны быть последовательными.

Всё правильно? Кто может проверить?

Точно так же надо проверить второе решение Andersen.

Mathematica gives:

In[1]:= Select[Range[0,82],PrimeQ[4164532312868707261+#]&]

Out[1]= {0, 6, 10, 16, 18, 28, 30, 40, 42, 48, 52, 58, 60, 70, 72, 82}

In[2]:= Select[Range[0,82],PrimeQ[6856521413120052187+#]&]

Out[2]= {0, 10, 12, 22, 24, 30, 34, 40, 42, 52, 54, 64, 66, 72, 76, 82}

[Nataly-Mak]

Yadryara в сообщении #840442 писал(а):

А Вы пробовали онлайн-проверку простоты? Например, здесь:
http://ru.numberempire.com/primenumbers.php

Попробовала. Классно!
Все 16 чисел первого решения проверила. Это очень быстро проверяется. Действительно, 16 последовательных простых чисел. Andersen не ошибся.

Сейчас проверю второе решение.

Yadryara
ещё раз спасибо. Очень хорошая проверялка

-- Вт мар 25, 2014 10:45:51 --

Jarek в сообщении #840491 писал(а):

Mathematica gives:

In[1]:= Select[Range[0,82],PrimeQ[4164532312868707261+#]&]

Out[1]= {0, 6, 10, 16, 18, 28, 30, 40, 42, 48, 52, 58, 60, 70, 72, 82}

In[2]:= Select[Range[0,82],PrimeQ[6856521413120052187+#]&]

Out[2]= {0, 10, 12, 22, 24, 30, 34, 40, 42, 52, 54, 64, 66, 72, 76, 82}

О! И ещё подсказка и всё уже проверено.
Спасибо, Jarek!

Это надо в матпакете Mathematica делать?
К сожалению, у меня его нет.
А WolframAlpha он-лайн это не может проверять?

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #840492 писал(а):

А WolframAlpha он-лайн это не может проверять?

Проверила, WolframAlpha тоже может проверять. Главное, надо было знать, как написать код. Это подсказал Jarek. Ещё раз спасибо.
Теперь буду пользоваться проверкой подобных решений в WolframAlpha.

[Nataly-Mak]

Итак, решение Andersen

The first case is 4164532312868707261 added to each of the 16 numbers:
0 6 18 30
10 16 28 40
42 48 60 72
52 58 70 82

проверено.
Это пока меньшее из двух известных решений Andersen.
Так выглядит этот квадрат Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел полностью:

4164532312868707261 4164532312868707267 4164532312868707279 4164532312868707291
4164532312868707271 4164532312868707277 4164532312868707289 4164532312868707301
4164532312868707303 4164532312868707309 4164532312868707321 4164532312868707333
4164532312868707313 4164532312868707319 4164532312868707331 4164532312868707343

Индекс этого квадрата:
$S=16658129251474829202$

Верхняя граница найдена. Надо найти наименьшее решение.
Задача в самом начале своего решения.

Вчера немного обсуждали дальнейшее решение задачи с Jarek в личной переписке.
Jarek считает, что решить задачу до конца сложно.

Если посмотреть на решение Andersen...
Jarek считает, что Andersen сначала нашёл возможную структуру квадрата Стенли

0 6 18 30
10 16 28 40
42 48 60 72
52 58 70 82

для разности 82 между наименьшим и наибольшим числами в последовательности из 16 чисел.
А затем уже искал под эту структуру набор из 16 последовательных простых чисел.

Как я поняла, 82 - это минимальная разность, для которой ему удалось найти:
1. структуру квадрата Стенли;
2. набор из 16 последовательных простых чисел под эту структуру.

Теперь разность можно только увеличивать, то есть брать больше 82, ибо с меньшей разностью найти набор из 16 последовательных простых чисел, удовлетворяющий условию 1, не получится.

И уж совсем пессимистический прогноз у Jarek по поводу решения этой задачи для квадратов Стенли 5-го порядка.

А делать надо то же самое.
Найти подходящую структуру

x1 x2 x3 x4 x5
x6 x7 x8 x9 x10
x11 x12 x 13 x14 x15
x16 x17 x18 x19 x20
x21 x22 x23 x24 x25

являющуюся квадратом Стенли.
Элемент x1, соответствующий стартовому простому числу, считаем равным 0.
Понятно, что все следующие элементы $x_i$, как разности между двумя простыми числами, будут чётными числами.
Элемент x25 есть разность между наименьшим и наибольшим числами набора из 25 последовательных простых чисел.

Много ли будет таких подходящих структур? Мы даже не знаем, какую же надо выбрать разность x25.

Ну, а найдя хоть какую-то подходящую структуру, надо затем искать под эту структуру набор из 25 последовательных простых чисел.
Задачка совсем не простенькая.
Решать, как всегда, некому

-- Ср мар 26, 2014 08:18:00 --

Если решать с другой стороны...

Кстати, WolframAlpha может генерировать последовательности простых чисел не только в сторону увеличения, но и в сторону уменьшения; для этого в коде надо поставить знак минус вместо знака плюс.

Задаю код:

Select[Range[0,10000],PrimeQ[4164532312868707261-#]&]

Стартовое число - это стартовое число из решения Andersen; теперь от этого стартового числа берём предыдущие простые числа, а не последующие.

Выдана такая последовательность простых чисел:

(Оффтоп)

{0, 8, 30, 32, 84, 140, 200, 234, 242, 252, 312, 344, 414, 452, 458, 512, 588, 630, 
660, 674, 752, 770, 830, 974, 1022, 1104, 1118, 1178, 1310, 1334, 1430, 1478, 1482, 1530, 
1550, 1562, 1614, 1632, 1662, 1674, 1698, 1818, 1842, 1850, 1904, 1970, 1982, 2030, 2130, 
2138, 2168, 2192, 2262, 2298, 2304, 2318, 2424, 2532, 2604, 2612, 2628, 2658, 2720, 2762, 
2804, 2870, 2888, 2934, 2982, 3018, 3032, 3050, 3120, 3222, 3234, 3258, 3308, 3362, 3372, 
3390, 3402, 3428, 3542, 3570, 3578, 3692, 3750, 3764, 3770, 3824, 3908, 3930, 3938, 3942, 
3984, 3998, 4082, 4098, 4104, 4118, 4214, 4218, 4314, 4358, 4404, 4424, 4428, 4454, 4484, 
4494, 4548, 4554, 4652, 4658, 4664, 4674, 4680, 4688, 4784, 4958, 5022, 5052, 5202, 
5220,5274, 5400, 5468, 5472, 5478, 5570, 5672, 5694, 5772, 5888, 5904, 5912, 5918, 5924, 
5954, 6000, 6008, 6032, 6078, 6248, 6260, 6270, 6314, 6368, 6372, 6380, 6408, 6440, 6458, 
6584, 6632, 6660, 6668, 6732, 6750, 6804, 6854, 6860, 6872, 6900, 6932, 6942, 7022, 7044, 
7100, 7130, 7142, 7238, 7292, 7310, 7334, 7430, 7470, 7484, 7542, 7572, 7592, 7640, 7668, 
7674, 7712, 7794, 7842, 7872, 7914, 7928, 7952, 8024, 8114, 8150, 8190, 8310, 8312, 8390, 
8400, 8414, 8454, 8480, 8510, 8538, 8544, 8558, 8564, 8604, 8652, 8664, 8810, 8822, 8898, 
8900, 8934, 8960, 8978, 8982, 9002, 9024, 9038, 9198, 9210, 9264, 9290, 9368, 9390, 9408, 
9494, 9534, 9542, 9558, 9560, 9564,9614, 9620, 9644, 9648, 9692, 9698, 9714, 9752, 9812, 
9882, 9944, 9948, 9954}

Можно сделать эту последовательность как угодно длинной, ну или генерировать такие последовательности порциями.

А теперь надо проверить каждый массив из 16 чисел, расположенных подряд, на предмет составления из чисел этого массива квадрата Стенли.
Программа такой проверки для одного массива из 16 чисел выполняется долю секунды. Но! проверить-то надо очень много массивов (миллионы? миллиарды? Если вот эту последовательность простых чисел раскрутить вниз до самого маленького простого числа, сколько в ней будет членов?).

Выделяю вопрос, чтобы был заметнее

сколько простых чисел в интервале (2, 4164532312868707261)

[Yadryara]

Nataly-Mak в сообщении #840799 писал(а):

сколько простых чисел в интервале (2, 4164532312868707261)

Примерно

$$99\,515\,726\,000\,000\,000$$

В этом вопросе здорово разбирается Droog_Andrey.

[Nataly-Mak]

Yadryara в сообщении #840846 писал(а):

Примерно

$$99\,515\,726\,000\,000\,000$$

Спасибо.
А как вы посчитали?
Если для каждого простого числа массив из следующих 16 чисел проверится за 0,01 секунды, за сколько времени проверится весь этот огромный массив простых чисел?
Надо прикинуть на калькуляторе

Конечно, есть махонькая надежда, что решение найдётся раньше, чем будет проверен весь массив. Но оно может быть и не так.

Разумеется, такое решение в лоб вряд ли очень привлекательно.
Но... вот я и призываю найти другое

Прикинула ---
Проверка будет выполняться примерно 31990000 лет
Никуда не годится!

Надо тогда попробовать двигаться от самого маленького простого числа вверх. Может быть, решение найдётся где-то в начале этого огромного массива простых чисел.

Ну, а можно вообще никуда не двигаться ибо зачем вообще нужен наименьший квадрат Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел?

Вот такой квадрат 5-го порядка мне больше нужен, и даже не наименьший, а хоть какой-нибудь. Потому что этот квадрат Стенли даст нам пандиагональный квдарат 5-го порядка из последовательных простых чисел!

Кстати, Carlos зажал вторую часть головоломки - ассоциативные квадраты Стенли из последовательных простых чисел. Он обещал опубликовать это отдельной головоломкой. Вот жду. Там будет возможен поиск ассоциативного квадрата Стенли 5-го порядка из последовательных простых чисел. Это вроде должно быть проще, чем произвольный квадрат Стенли.

[Nataly-Mak]

Ещё раз о первом подходе (как вроде бы действовл Andersen по мнению Jarek)

Задаём разность между наибольшим и наименьшим простыми числами набора равной 84 (как сказано выше, эту разность надо задавать больше 82).
Вот одна из подходящих структур (то есть это готовый квадрат Стенли 4-го порядка):

0  2  14  24 
8  10  22  32 
28  30  42  52 
60  62  74  84

Как много можно найти таких подходящих структур? Я думаю, что достаточно много.

Ранжировала последовательность элементов этого квадрата Стенли:

0  2  8  10  14  22  24  28  30  32  42  52  60  62  74  84

Теперь дело за маленьким: надо найти 16 последовательных простых чисел, дающих такие разности.
Вот и все дела

[Jarek]

Nataly-Mak в сообщении #840910 писал(а):

0  2  8  10  14  22  24  28  30  32  42  52  60  62  74  84

Теперь дело за маленьким: надо найти 16 последовательных простых чисел, дающих такие разности.

Impossible. 0, 2 and 10 give all 3 residues mod 3.

[Nataly-Mak]

Jarek в сообщении #840920 писал(а):

Impossible. 0, 2 and 10 give all 3 residues mod 3.

Jarek
я поняла так, что простые числа с разностями 0, 2 и 10 невозможны.
Не поняла причину

К сожалению, я не знаю так хорошо структуру простых чисел, как её знаете вы.
Я вчера посмотрела материалы по ссылкам, которые вы мне дали. Там такие задачи с простыми числами решаются, что мне и не снились
Вот сейчас смотрю в таблицу простых чисел, действительно, простых чисел с такими разностями не вижу.

Ну вот, следовательно, найденная мной структура (квадрат Стенли) уже отвергнута.

-- Ср мар 26, 2014 14:00:24 --

Сейчас запустила программу, чтобы она дальше искала структуры (квадраты Стенли). Решений выдаётся очень много.
Например, такие структуры возможны

0  2  8  14 
22  24  30  36 
48  50  56  62 
 70  72  78  84

0  2  14  52 
22  24  36  74 
28  30  42  80 
32  34  46  84

0  2  26  50 
22  24  48  72 
30  32  56  80 
34  36  60  84

[Nemiroff]

Nataly-Mak в сообщении #840931 писал(а):

я поняла так, что простые числа с разностями 0, 2 и 10 невозможны.
Не поняла причину

$0$, $2$ и $10$ --- это представители всех трёх возможных классов вычетов по модулю три. Проще говоря, при делении на три могут быть остатки $0,1$ ил $2$. В вашем случае $0$ даёт $0$, $10$ даёт $1$ и $2$ даёт $2$.
Допустим, $p$ --- простое. Тогда одно из чисел $p+0, p+2, p+10$ делится на три (по условию это не первое из них, но я добавил его для общности).
Поэтому, $p=3$ --- единственное возможное решение.

[Nataly-Mak]

Nemiroff в сообщении #840935 писал(а):

Допустим, $p$ --- простое. Тогда одно из чисел $p+0, p+2, p+10$ делится на три (по условию это не первое из них, но я добавил его для общности).
Поэтому, $p=3$ --- единственное возможное решение.

Ага, теперь поняла, спасибо.

Значит, единственная тройка простых чисел с разностями 0, 2 и 10 - это 3, 5, 13.
И больше не имеется ни одной такой тройки.

Если продолжить составление набора чисел, начинающегося с 3, по структуре:

0  2  8  10  14  22  24  28  30  32  42  52  60  62  74  84

получим такой набор:

3, 5, 11, 13, 17, 25, 27, 31, 33, 35, 45, 55, 63, 65, 77, 87

До фига не простых чисел.

Но зато теперь, надеюсь, всем понятно, что надо искать

[Nemiroff]

Nataly-Mak в сообщении #840938 писал(а):

Значит, единственная тройка простых чисел с разностями 0, 2 и 10 - это 3, 5, 13.
И больше не имеется ни одной такой тройки.

Да. Причём, это можно для любого модуля проверять. К примеру все ваши разности должны быть чётными --- иначе по модулю два будут опять-таки все возможные (два) классы вычетов представлены (ну или если первое число нечётное, а остальные чётные, то это может быть последовательность, начинающаяся с двойки).

[Nataly-Mak]

Nemiroff в сообщении #840941 писал(а):

К примеру все ваши разности должны быть чётными ---

Ну, это я поняла сразу
Простое число 2 в магические и антимагические квадраты не играет.