Linkey писал(а):
Правильно ли я понимаю, что любой интеграл можно выразить как сумму бесконечного сходящегося ряда?
Ну, классический определенный интеграл и задается как предел интегральных сумм.
Linkey писал(а):
И второй вопрос: бывает ли так, что этот ряд так медленно сходится, что это создаёт реальные проблемы?
Не слышал о таких случаях. Если какой-то ряд медленно сходится, а нужно приближенно вычислить его сумму, то обычно строят другой ряд с той же суммой, но сходящийся быстро. Вот фрагментик Фихтенгольца:
24.03.2014, 01:55 
, скажем, от 0 до 20 ?![$\[\frac{{\cos x}}{{\ln x}} = \frac{1}{{\ln x}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}{x^{2k}}}}{{(2k)!}}} \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/d/93dc8c30a922605638b33338464b4b2182.png "$\[\frac{{\cos x}}{{\ln x}} = \frac{1}{{\ln x}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}{x^{2k}}}}{{(2k)!}}} \]$")
. Используя то, что ![$\[\int {\frac{{{x^{2k}}}}{{\ln x}}} dx = {\mathop{\rm Ei}\nolimits} ((2k + 1)\ln x)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/1/f416b053d4bf1a1d2bdc8e599d198a2982.png "$\[\int {\frac{{{x^{2k}}}}{{\ln x}}} dx = {\mathop{\rm Ei}\nolimits} ((2k + 1)\ln x)\]$")
(т.к.![$\[{\mathop{\rm li}\nolimits} (x) = {\mathop{\rm Ei}\nolimits} (\ln x)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/b/42ba7305e8e12f0088f0c11c30cdf15082.png "$\[{\mathop{\rm li}\nolimits} (x) = {\mathop{\rm Ei}\nolimits} (\ln x)\]$")
) имеете![$\[\int {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}dx} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}{\mathop{\rm Ei}\nolimits} [(2k + 1)\ln x]}}{{(2k)!}}} \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/3/17361872d12c4a3677f0374ec9876ec582.png "$\[\int {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}dx} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}{\mathop{\rm Ei}\nolimits} [(2k + 1)\ln x]}}{{(2k)!}}} \]$")
.
. У вас же - где-то около 
. 
, а у вас 
