2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 12:31 


09/01/14

178
g______d в сообщении #839590 писал(а):
Bonaqua в сообщении #839588 писал(а):
Там $\sqrt{ix}$ и в данном случае оно на область значения функции никак не влияет.


Ну хорошо, $\sqrt{ix}$. Как Вы его определяете на $\mathbb C$ или $\mathbb C\setminus \{0\}$?


Почему вы исключили нуль? В данном случае он является нулем функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 12:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Потому что точка ветвления. Как и бесконечность, кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Я не сразу исключил, а предложил Вам два варианта. Напишите точное определение хотя бы в одном из них. Можете догадаться, что прошу не просто так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 20:33 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Bonaqua в сообщении #839573 писал(а):
Значения функции будут лежать также на комплексной плоскости, а вот что будет являться непосредственным графиком, к сожалению, я не знаю.


Вы не знаете, но откуда такая убеждённость, что график функции тоже будет лежать на комплексной плоскости?

Bonaqua в сообщении #839203 писал(а):
$$f(x)=\frac{\sqrt{xi}}{x^2+1}$$$$D(f)=x\in\mathbb{C}\setminus\{i\}$$


Давайте запишем наши иксы в виде:

$$x=a+bi$$
где $a$ - действительная часть комплексного аргумента, а $bi$ - мнимая. Подставим $x$ в исходную функцию, получим:
$$f(a,b)=\frac{\sqrt{ai-b}}{(a+bi)^2+1}$$

Таким образом, полученная комплексная функция аналогична функции двух независимых переменных $a$ и $b$, графиком которой будет являться именно поверхность. Понятно, что поверхность не вещественная, а мнимая или комплексная. Даже, если бы Вы хотели всё равно силком загнать Вашу функцию на ту же комплексную плоскость - то у Вас не получилось бы, так как каждой точке комплексной плоскости, кроме $x=\pm i$, будет соответствовать своё значение функции. При этом $a$ и $b$ не зависимы друг от друга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 21:03 


29/09/06
4552

(Оффтоп)

Shtorm,

по-моему, Вы написали чушь. И очередную, и самоуверенную.

У нас с вами есть общая черта: мы оба довольно хреновые математики.

Но есть и разница: я понимаю, что не понимаю вопроса, а Вы не понимаете, что не понимаете вопроса. Т.е. я всё же чуть лучше по математике, чем Вы.

С другой стороны, я, конечно, понимаю, что мимо асимптоты Вы пройти не могли...

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 21:07 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К., я всегда готов признать свои ошибки :-) и готов учиться лично у Вас. Давайте разберём по косточкам - в чём я не прав. Думаю, что ТС это тоже будет полезно. Он ведь тоже не знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 21:14 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва

(Оффтоп)

Комплексная плоскость несколько двусмысленное понятие. С одной стороны - это множество $\mathbb{C}$ комплексных чисел, которое наглядно можно представить в виде вещественной плоскости. С другой стороны, $\mathbb{C}$ - это одномерное пространство над полем комплексных чисел, то есть прямая, а плоскость - это $\mathbb{C}^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 21:17 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
AV_77, соответственно, это аргумент в пользу того - что я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 21:26 


29/09/06
4552
Shtorm в сообщении #839770 писал(а):
Давайте разберём по косточкам - в чём я не прав.
В частности, вот эта фраза меня напрягла:
Shtorm в сообщении #839741 писал(а):
Таким образом, полученная комплексная функция аналогична функции двух независимых переменных $a$ и $b$, графиком которой будет являться именно поверхность.
Я не понимаю (ну, может, ленюсь напрячься и попонимать), что такое комплекснозначная поверхность, и как её можно аналогизировать с привычной поверхностью, и (самоуверенно) подозреваю Вас в таковом непонимании.
Shtorm в сообщении #839770 писал(а):
и готов учиться лично у Вас.
Я подписался на тему (до того, как вмешался в неё) с намерением послушать математиков и понять, о чём речь. И правда, кое-кто из них потребовал от ТС определений. Наверное, Вы бы поступили подобным же образом, если бы не магическое слово асимптота. Разбирать по косточкам не буду. Буду слушать знающих людей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение22.03.2014, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Я не претендую на знающего, но мне кажется, что ответ как минимум зависит от выбора ветви корня, которой мы пока так и не дождались. С другой стороны, я понимаю, почему ТС не хочет этого делать – потому что если функцию по-прежнему будет хотеться определить на всей плоскости или без нескольких точек, то она станет разрывной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение23.03.2014, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Bonaqua в сообщении #839573 писал(а):
Вы имеете в виду точки разрыва? В таком случае, я указал, что элемент $i$ является единственной точкой разрыва, при этом второго рода.
Ну и неверно указали. Уравнение $z^2+1=0$ имеет два корня, $z=i, z=-i$ и они не кратные.
Функция от комплексного аргумента с комплексными значениями имеет график в четырехмерном пространство. Там он будет двумерной поверхностью.
Ваша функция, как вам уже не раз указывали, неоднозначная. Корень из комплексного числа имеет два значения. Так что "поверхность" будет довольно сложная, с особыми точками (точками ветвления) в 0 и бесконечности. Как же можно говорить о ее асимптоте? Что вы под этим понимаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение24.03.2014, 09:56 


24/03/14

113
Функция сама по себе записана неверно и не предполагает никаких асимптот, поскольку, как тут многие уже смогли заметить, графиком комплексной функции, ведь именно здесь вы ее и интерпретируете, делится на мнимую и действительную часть по соответствующим осям. Асимптот у комплексной функции переменного быть, таким образом, не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение05.04.2014, 21:56 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К. в сообщении #839786 писал(а):
Я не понимаю (ну, может, ленюсь напрячься и попонимать), что такое комплекснозначная поверхность, и как её можно аналогизировать с привычной поверхностью, и (самоуверенно) подозреваю Вас в таковом непонимании.


provincialka в сообщении #839865 писал(а):
Функция от комплексного аргумента с комплексными значениями имеет график в четырехмерном пространство. Там он будет двумерной поверхностью


Хотел также конкретизировать, в продолжении нашего разговора с Алексеем К. в этой теме. Прохоров Ю.В. "Математический энциклопедический словарь". В самом конце статьи "График функции" написано:
Цитата:
Графиком комплекснозначной функции $w=f(z)$, где $z=x+iy, w=u+iv$, является двумерная поверхность в 4-мерном пространстве точек с координатами $(x,y,u,v)$.

Кажется большинство участников этой темы критически относятся к понятию асимптота в данном случае. Или я не прав, так как речь идёт лишь о конкретной функции, написанной ТС? А в целом и общем в комплекснозначной функции асимптота работает? Но раз мы имеем дело с двумерной поверхностью, то почему неприменимо понятие асимптота поверхности, которое дано, например у Александрова П.С. в "Лекциях по аналитической геометрии"? Разве нельзя обобщить 3-мерный случай, рассмотренный Александровым на 4-мерный случай?

 Профиль  
                  
 
 А называется это демагогия. At least, когда я этим занимаюсь
Сообщение05.04.2014, 22:15 


29/09/06
4552
Shtorm в сообщении #845933 писал(а):
Разве нельзя обобщить 3-мерный случай, рассмотренный Александровым на 4-мерный случай?

Shtorm,

Вы, я так понял, почитали упомянутую книгу, знаете все детали, Вам и карты в руки:
Разве нельзя Можно ли обобщить 3-мерный случай, рассмотренный Александровым, на 4-мерный случай?

-- 05 апр 2014, 23:30:01 --

Слово "обобщить" без спецификации объектов обобщения мне напоминает пустой трёп.
И я тоже так умею, и даже делаю иногда (вне математики, т.е. не на форуме, а в неких кабинетах на совещаниях).
И осуждаю себя за это плохими словами, но только в кругу друзей.
А они мне давно всё прощают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение05.04.2014, 22:41 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К., конечно я надеялся на Ваше высокопрофессиональное мнение, дабы самому, по более низкой квалификации, не впасть в глупые ошибки, как это было не раз.
Ну так на вскидку:
Александров рассматривает вектор асимптотического направления в трёхмерном пространстве, который соответственно имеет 3 координаты. Соответственно, можно ввести 4-мерный вектор. Далее у Александрова прямая, в трёхмерном пространстве, заданная параметрически. Соответственно, можем рассмотреть аналогичный объект (не знаю как его назвать, может гиперпрямая?), заданный 4-мя уравнениями с параметром. Ищем пересечение этой гиперпрямой с комплекснозначной поверхностью. Подставляем эти уравнения в исходную функцию, которую лучше переписать в виде уравнения, приравненного к нулю и получим одно уравнение относительно параметра $t$.
На этом этапе нужно остановиться и спросить мнение заслуженных участников. Ведь все дальнейшие рассуждения у Александрова базируются именно на этом.

-- Сб апр 05, 2014 22:51:36 --

Совсем из головы вылетело, что Александров рассматривает все понятия, только на алгебраических поверхностях, а здесь-то у ТС не алгебраическая поверхность. Ну, а если бы например была комплекснозначная функция, которая представляла бы собой комплексную алгебраическую функцию, то рассуждения были бы верны?
С другой стороны, можно же расширить понятие асимптотического направления, и на более широкий класс функций.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group