Асимптоты комплексной функции

[Bonaqua]

Проверить на асимптоты:

$$f(x)=\frac{\sqrt{xi}}{x^2+1}$$

$$D(f)=x\in\mathbb{C}\setminus\{i\}$$

Следовательно, убеждаемся в существовании вертикальной асимптоты:

$$\lim\limits_{x\to i\pm 0}f(x)=\lim\limits_{x\to i\pm 0}\frac{\sqrt{i^2\pm 0}}{(i\pm 0)^2+1}=\infty\Rightarrow x=i$$

Проверяем на наличие горизонтальной асимптоты:

$$\lim\limits_{x\to \infty} f(x) = \frac\infty\infty=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{i}{4\sqrt{ix}}=0\Rightarrow y=0$$

Верны ли мои заключения?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: отсутствуют попытки решения задачи.

Приведите собственные содержательные попытки решения и укажите затруднения.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

Что ест асимптота, если значения функции комплексные? Кстати, а каково $x$ - вещественное или комплексное? Если вещественное, то зачем исключать $i$ (а также $-i$)? Если же комплексное, то отображение $f$ переводт плоскость в плоскость, так что понятие асимптоты надо пояснить.

[Bonaqua]

Цитата:

Что ест асимптота, если значения функции комплексные?

Так вот в том то, товарищ, и прикол, что как таковое правило нахождения и существования самих асимптот доказуемо, а вот что они значат среди комплексной переменной - за этим я сюда и пришел. Думаю, ничем не должно отличаться. Ибо существует функция, существует график, следовательно, должна существовать и асимптота. Но я пока в математической литературе нигде не встречал и слова про нахождение асимптот у функции комплексной переменной, собственном, поэтому я здесь.

Цитата:

Кстати, а каково $x$ - вещественное или комплексное?

Комплексное, поскольку $x$ принадлежит полю комплексных чисел.

[Shtorm]

provincialka в сообщении #839467 писал(а):

зачем исключать $i$ (а также $-i$)?

Как раз это-то понятно, ибо если комплексная переменная принимает значения $\pm i$ , то знаменатель обращается в нуль и следовательно при этих значениях функция не существует.

[patzer2097]

Bonaqua в сообщении #839477 писал(а):

правило нахождения и существования самих асимптот доказуемо, а вот что они значат среди комплексной переменной - за этим я сюда и пришел

сюда лучше приходить, если есть какой-то осмысленный вопрос, который Вы хотите задать
впрочем, Вам все равно ответят

[provincialka]

Shtorm, ну не надо обо мне так плохо думать . Я же сказала, если считать $x$ вещественным. Одно дело,если функция комплекснозначная, но от вещественного аргумента. Тогда можно рассматривать ее график как кривую на комплексной плоскости. Ну, а у кривой может быть асимптота.
Если же и аргумент, и значение - комплексные, то в каком смысле понимать предел, скажем, в бесконечности?

[Shtorm]

provincialka, ну что Вы!? Я наоборот, выразил восхищение Вами вот в этом сообщении.

provincialka в сообщении #839484 писал(а):

Я же сказала, если считать $x$ вещественным

Но ведь ТС сразу написал, что $x$ принадлежит комплексным числам.

Bonaqua в сообщении #839203 писал(а):

$$D(f)=x\in\mathbb{C}\setminus\{i\}$$

[g______d]

Bonaqua в сообщении #839203 писал(а):

$$f(x)=\frac{\sqrt{xi}}{x^2+1}$$

$$D(f)=x\in\mathbb{C}\setminus\{i\}$$

Нужно еще про разрез что-то сказать.

[Shtorm]

Bonaqua в сообщении #839477 писал(а):

Ибо существует функция, существует график, следовательно, должна существовать и асимптота.

Значения $x$ - аргумента функции, лежат на комплексной плоскости. А значения функции где будут лежать? В трёхмерном пространстве? График функции будет представлять собой поверхность?

[Bonaqua]

g______d в сообщении #839503 писал(а):

Bonaqua в сообщении #839203 писал(а):

$$f(x)=\frac{\sqrt{xi}}{x^2+1}$$

$$D(f)=x\in\mathbb{C}\setminus\{i\}$$

Нужно еще про разрез что-то сказать.

Вы имеете в виду точки разрыва? В таком случае, я указал, что элемент $i$ является единственной точкой разрыва, при этом второго рода.

-- 22.03.2014, 12:07 --

Shtorm в сообщении #839504 писал(а):

Bonaqua в сообщении #839477 писал(а):

Ибо существует функция, существует график, следовательно, должна существовать и асимптота.

Значения $x$ - аргумента функции, лежат на комплексной плоскости. А значения функции где будут лежать? В трёхмерном пространстве? График функции будет представлять собой поверхность?

Значения функции будут лежать также на комплексной плоскости, а вот что будет являться непосредственным графиком, к сожалению, я не знаю.

[g______d]

Bonaqua в сообщении #839573 писал(а):

Вы имеете в виду точки разрыва? В таком случае, я указал, что элемент $i$ является единственной точкой разрыва, при этом второго рода.

Функцию $\sqrt{x}$ Вы как определяете?

[Bonaqua]

g______d в сообщении #839579 писал(а):

Bonaqua в сообщении #839573 писал(а):

Вы имеете в виду точки разрыва? В таком случае, я указал, что элемент $i$ является единственной точкой разрыва, при этом второго рода.

Функцию $\sqrt{x}$ Вы как определяете?

Там $\sqrt{ix}$ и в данном случае оно на область значения функции никак не влияет.

[g______d]

Bonaqua в сообщении #839588 писал(а):

Там $\sqrt{ix}$ и в данном случае оно на область значения функции никак не влияет.

Ну хорошо, $\sqrt{ix}$. Как Вы его определяете на $\mathbb C$ или $\mathbb C\setminus \{0\}$?