Предел

[VPro]

ex-math в сообщении #837691 писал(а):

Не лишним было бы изначально договориться, что мы понимаем под $x^x$. Обычно все-таки считают, что $x^x=e^{x\ln x}$.

Функции $x^x$ и $e^{x\ln x}$ не эквивалентны. У второй действительно область определения $(0,\infty)$. А первая легко вычисляется, например, при $x=-1$.

[Nemiroff]

VPro в сообщении #837699 писал(а):

Функции $x^x$ и $e^{x\ln x}$ не эквивалентны. У второй действительно область определения $(0,\infty)$. А первая легко вычисляется, например, при $x=-1$.

Тогда вот это

VPro в сообщении #837398 писал(а):

Выражение $x^x$ определено на последовательности $x_n=-\frac{1}{2n+1}$ и предел на ней равен $-1$.

нуждается в доказательстве.

[VPro]

$\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{2n+1}\right)^{\left(-\frac{1}{2n+1}\right)} =\lim_{n\to\infty}\left(-\sqrt[2n+1]{2n+1}\right)=-1$

[Nemiroff]

А я вот буду утверждать, что функции $\sqrt[3]x$ и $x^{1/3}$ неэквивалентны. И вторая вообще не определена при отрицательных "иксах". Если хотеть придраться, повод-то найти несложно.

-- Пн мар 17, 2014 00:18:16 --

Внезапно: $x^x=r^{-r}(\cos r\pi - i\sin r\pi)$, где $r=|x|$. Устремляем что-то куда-то, получаем опять же что-то.

[Rich]

VPro в сообщении #837707 писал(а):

$\left(-\frac{1}{2n+1}\right)^{\left(-\frac{1}{2n+1}\right)} =\left(-\sqrt[2n+1]{2n+1}\right)$

Каким образом минус за знак корня вышел?

-- 16.03.2014, 23:25 --

предел вообще говоря 1.

[VPro]

Nemiroff в сообщении #837708 писал(а):

А я вот буду утверждать, что функции $\sqrt[3]x$ и $x^{1/3}$ неэквивалентны. И вторая вообще не определена при отрицательных "иксах". Если хотеть придраться, повод-то найти несложно.

Рассмотрим уравнение $a^3=-8$. При возведении обеих частей в степень $1/3$, получим $a= (-8)^{1/3}$. Вы отказываете этому уравнению в существование решения?

-- Вс мар 16, 2014 23:36:17 --

Rich в сообщении #837711 писал(а):

Каким образом минус за знак корня вышел?

В силу $(-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}$.

[Rich]

А здесь скорее $(-a)^\frac{1}{2n+1}$

-- 16.03.2014, 23:43 --

Взгляните на это.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%2F%282n%2B1%29%29%5E%28-1%2F%282n%2B1%29%29%2C+n-%3Einfinity

[Nemiroff]

Цитата:

получим $a= (-8)^{1/3}$.

Ага. $a= (-8)^{1/3}=(-8)^{2/6}=\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2$. Не отказываю нисколько.
А если более серьёзно, то я отказываю фразе

VPro в сообщении #837714 писал(а):

При возведении обеих частей в степень $1/3$

в наличии смысла.

VPro в сообщении #837714 писал(а):

В силу $(-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}$.

А у вас не такое выражение — там минус единичка аж в дробной степени.

[corvus42]

Тут такая бадяга. Когда мы переходим от цехых показателей степени на рациональные (в надежде потом еще на вещественые по непрерывности определить) мы вынуждены брать корни, а поэтому должны договориться о выборе какого-то одного из значений корня. Стандартных подхода два: первый школьный -- вещественный корень (если есть), второй -- корень с наименьшим неотрицательным аргументом. Это дело вкуса, но, по-чесноку, второй ведет себя лучше; и например, так выбирает вольфрам по умолчанию. На положитедьной оси все как бы хорошо, ибо оба подхода дают одинаковый результат. В отрицательной полуоси это не так. Поэтому большинство приличных учебников анализа определяют $x^y$ только для положительных $x$, стараясь сохранить непрерывность и вещественность.