Квадрат целого числа

[Rich]

Как доказать $3(4x^3+1),x\in \mathbb{N}$, не может быть квадратом целого числа?

[corvus42]

Посмотрите по модулю 4.

[Rich]

У нас останется 3 по модулю 4, и какой из этого вывод?

[SpBTimes]

А какой остаток может дать квадрат при делении на 4?

[Rich]

Извините за дурацкий вопрос.

-- 15.03.2014, 23:45 --

А как тогда доказать $3(4x^3-1),x\in \mathbb{N}$, не может быть квадратом целого числа при $x \neq 1$?

[panzerfaust]

Квадраты чётных чисел делятся на $4$ по очевидной причине:

$$(2n)^2 = 4n^2, \ \ \ \ n\in \mathbb{Z}$$

то есть

$$(2n)^2 \equiv 0 \pmod{4}$$

Квадраты нечётных чисел по модулю $4$ дают остаток $1$ всегда, ибо

$$(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1, \ \ \ \ n\in \mathbb{Z}$$

то есть

$$(2n+1)^2 \equiv 1 \pmod{4}$$

Так как целые числа либо чётные, либо нечётные, то других вариантов нет - остаток либо $0$, либо $1$.

У вас выражение $12x^3 + 3$. дающее остаток 3 по модулю 4:

$$12x^3 + 3 \equiv 3 \pmod{4}$$

Отсюда, оно не является полным квадратом никакого целого числа.

-- 16.03.2014, 12:26 --

Здесь просто написано то, что очевидно из свойств чисел.

[corvus42]

panzerfaust в сообщении #837385 писал(а):

У вас выражение $12x^3 - 3$. дающее остаток 3 по модулю 4:

Неправда.

[Rich]

Доказательство используя модуль,скорее всего не даст ответа , т.к. 1 при $x=1$, мы получаем квадрат 3.

[panzerfaust]

Rich в сообщении #837330 писал(а):

:facepalm: Извините за дурацкий вопрос.

-- 15.03.2014, 23:45 --

А как тогда доказать $3(4x^3-1),x\in \mathbb{N}$, не может быть квадратом целого числа при $x \neq 1$?

Решал для плюса, два условия в голове перемешались. Прошу прощения.

corvus42 в сообщении #837388 писал(а):

Неправда.

Действительно, спасибо. Смешал два условия.

[Rich]

Как я понимаю,задача сводится к задаче:

Доказать, $3(4x^3-1)=y^2;x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N} \implies x=1$

[panzerfaust]

В случае с минусом нужно доказать, что

$$\frac{n^2 + 3}{12}, \ \ \ \ n \in \mathbb{Z}$$

не является кубом никакого числа (ну кроме 1).

[Rich]

И как же это сделать?

[Руст]

Очевидно, что $n=3(2k+1)$. Тогда
$\frac{n^2+2}{12}=\frac{3(4k^2+4k+1)+1}{4}=3k^2+3k+1=(k+1)^3-k^3$.
Из того, что это куб получаем $(k+1)^3=k^3+m^3\to k=0 \ or \ k=-1$.

[Rich]

А без ВТФ никак?

[Руст]

Можно, но длиннее. По сути сводится к доказательству частного случая ВТВ.