2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Квадрат целого числа
Сообщение15.03.2014, 22:48 
Как доказать $3(4x^3+1),x\in \mathbb{N}$, не может быть квадратом целого числа?

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение15.03.2014, 22:58 
Посмотрите по модулю 4.

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение15.03.2014, 23:05 
У нас останется 3 по модулю 4, и какой из этого вывод?

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение15.03.2014, 23:06 
Аватара пользователя
А какой остаток может дать квадрат при делении на 4?

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение15.03.2014, 23:08 
:facepalm: Извините за дурацкий вопрос.

-- 15.03.2014, 23:45 --

А как тогда доказать $3(4x^3-1),x\in \mathbb{N}$, не может быть квадратом целого числа при $x \neq 1$?

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 11:26 
Квадраты чётных чисел делятся на $4$ по очевидной причине:
$$(2n)^2 = 4n^2, \ \ \ \ n\in \mathbb{Z}$$
то есть
$$(2n)^2 \equiv 0 \pmod{4}$$

Квадраты нечётных чисел по модулю $4$ дают остаток $1$ всегда, ибо
$$(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1, \ \ \ \ n\in \mathbb{Z}$$
то есть
$$(2n+1)^2 \equiv 1 \pmod{4}$$

Так как целые числа либо чётные, либо нечётные, то других вариантов нет - остаток либо $0$, либо $1$.

У вас выражение $12x^3 + 3$. дающее остаток 3 по модулю 4:
$$12x^3 + 3 \equiv 3 \pmod{4}$$
Отсюда, оно не является полным квадратом никакого целого числа.

-- 16.03.2014, 12:26 --

Здесь просто написано то, что очевидно из свойств чисел.

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 11:50 
panzerfaust в сообщении #837385 писал(а):
У вас выражение $12x^3 - 3$. дающее остаток 3 по модулю 4:

Неправда.

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 12:04 
Доказательство используя модуль,скорее всего не даст ответа , т.к. 1 при $x=1$, мы получаем квадрат 3.

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 12:22 
Rich в сообщении #837330 писал(а):
:facepalm: Извините за дурацкий вопрос.

-- 15.03.2014, 23:45 --

А как тогда доказать $3(4x^3-1),x\in \mathbb{N}$, не может быть квадратом целого числа при $x \neq 1$?


Решал для плюса, два условия в голове перемешались. Прошу прощения.

corvus42 в сообщении #837388 писал(а):
Неправда.

Действительно, спасибо. Смешал два условия.

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 12:30 
Как я понимаю,задача сводится к задаче:

Доказать, $3(4x^3-1)=y^2;x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N} \implies x=1$

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 12:39 
В случае с минусом нужно доказать, что
$$\frac{n^2 + 3}{12}, \ \ \ \ n \in \mathbb{Z}$$
не является кубом никакого числа (ну кроме 1).

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 12:51 
И как же это сделать?

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 13:05 
Очевидно, что $n=3(2k+1)$. Тогда
$\frac{n^2+2}{12}=\frac{3(4k^2+4k+1)+1}{4}=3k^2+3k+1=(k+1)^3-k^3$.
Из того, что это куб получаем $(k+1)^3=k^3+m^3\to k=0 \ or \ k=-1$.

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 13:11 
А без ВТФ никак?

 
 
 
 Re: Квадрат целого числа
Сообщение16.03.2014, 13:16 
Можно, но длиннее. По сути сводится к доказательству частного случая ВТВ.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group