Действие свободной частицы

[Ms-dos4]

Читать книги на английском, это, увы, выше моих сил.

[r0ma]

Да, кстати, почему-то этот вопрос у меня в голове сразу и не возник. На русском есть какая-нибудь ещё хорошая литература по континуальным интегралам помимо Фейнмана? Мои лекции и Фейнман это понятно, но под рукой хотелось бы ещё что-нибудь иметь на всякий случай.

[r0ma]

Отложил на время лекции и полностью переключился на Фейнмана. Второй параграф про квантовомеханическую амплитуду уже прочитал, разибраюсь дальше, однако покоя мне не даёт один вопрос. Я так и не понял, что он имеет ввиду под неким $\varphi [x(t)]$. Сам он называет эту фи неким "вкладом", из которых состоит амплитуда перехода из $a$ в $b$. Но мне не ясно, что подразумевается под этим словом. Ампитуда амплитуды перехода? Дальше, не очень ясно почему он как-то совсем резко положил, что фаза этого некого "вклада" есть $(i/\hbar)S$ и вообще почему $\varphi=\operatorname{const} e^{(i/\hbar)S}$. Можно это как-то по-понятней? Или это просто стоит принять "как есть"?

[Ms-dos4]

r0ma
Значение $\[\varphi \]$ то же, что и раньше, просто теперь амплитуда перехода из одной точки в другую является суммой амплитуд по всем возможным траекториям, соединяющим точки.

По поводу фазы вклада - можете провести аналогию с КМ?

[r0ma]

Ms-dos4 в сообщении #837052 писал(а):

r0ma
По поводу фазы вклада - вы аналогии с обычной КМ не видите?

Вижу. Но мне хотелось бы более что ли обоснованных рассуждений.

[Ms-dos4]

Вообще, можете не заморачиваться - собственно, то что вклад пропорционален $\[{e^{\frac{i}{\hbar }S}}\]$ постулируется.
Просто как опорный пункт, вспомните вспомните решение для свободной частицы(загляните в показатель экспоненты). Не лишним будет вспомнить и распространение волнового пакета.
Если серьёзно - раз вы уже взялись за функциональные интегралы, вы же сталкивались с пропагаторами (как функциями Грина)? Они и описывают амплитуды перехода из одной точки в другую. Вот то, что получается при суммировании $\[\varphi \]$ и есть пропагатор. C этой точки зрения можете и понимать, к чему стремятся вычисления.

[Munin]

r0ma в сообщении #837046 писал(а):

Или это просто стоит принять "как есть"?

Здесь в некоторой степени принцип "это работает, и это и есть обоснование идеи". Откуда взята амплитуда, что такое "вклад" и так далее.

В некоторой степени, "совсем на пальцах" (ещё проще, чем у Фейнмана) здесь можно воспользоваться оптической аналогией. Рассмотрим скалярную волновую оптику. В оптике тоже есть волновые явления: дифракция за щелью, интерференция на двух щелях - и мы отвлекаемся только от понятия вероятности. Мы имеем дело только с интенсивностью волны, пришедшей в конечную точку. Интенсивность, разумеется, есть квадрат амплитуды. Теперь, мы можем смотреть на картину амплитуды, распределённой в пространстве, и в том числе на плоскости экрана, разными способами:
- просто как решение волнового уравнения - то есть, в каждой точке у нас выполняется некоторый "волновой динамический закон";
- (1) эту волну мы можем считать как распространение некоторой "стандартной волны" (функции Грина) из множества точек первичного источника, в простейшем случае - из точки, из двух точек, из отрезка;
- (2) применяя принцип Гюйгенса, мы замечаем, что каждую амплитуду в конечной точке можно представить себе как сумму "вторичных волн", исходящих из "вторичных источников" на некотором промежуточном волновом фронте;
- ($n$) ту же идею можно повторить, введя ещё один и ещё один промежуточный волновой фронт, вычисляя волны на каждом последующем из предыдущего.
По сути, на этапе (2) мы разбили одно распространение волны на две стадии, и должны теперь учитывать интерференцию от параллельных путей (вкладов), чтобы принцип Гюйгенса "работал". На этапе (3), мы должны посчитать такое разбиение на две стадии, только чтобы вычислить амплитуду на втором фронте, а потом ещё и эти амплитуды второго фронта все проинтерферировать. То есть, мы должны перебрать все возможные ломаные из трёх отрезков, промежуточные вершины которых лежат на промежуточных фронтах. Переходя к $(3)\to(4)\to\ldots\to(n),$ мы делаем всё то же самое. И наконец, мы можем взять предел $n\to\infty,$ заполняя вообще всё доступное пространство промежуточными волновыми фронтами, и тогда наши ломаные превратятся в почти произвольные кривые линии, и для каждой из этих линий мы должны посчитать "вклад" - число, которое целиком и полностью определяется формой этой линии, и сумма всех-всех-всех этих чисел даст амплитуду в конечной точке.

-- 15.03.2014 13:17:41 --

Параллель между оптикой и механикой такая: в оптике мы во всём пространстве имеем амплитуду волны, меняющуюся по синусоиде, и образующую волновые фронты. Эта амплитуда задаётся решением волнового уравнения

$$\dfrac{\partial^2A}{\partial t^2}-c^2\nabla^2A=0,$$

которое в пределе малой длины волны $\lambda\to 0$ переходит в уравнение эйконала (фаза и амплитуда расщепляются друг от друга, и большая быстро меняющаяся фаза, после деления на большой нормировочный множитель, становится эйконалом):

$$\left(\dfrac{\partial\psi}{\partial t}\right)^2-c^2(\nabla\psi)^2=0.$$

Аналогично, в механике мы имеем на уровне "предела малой длины волны" (уровень классической механики) уравнение Гамильтона-Якоби

$$\dfrac{\partial S}{\partial t}+\tfrac{1}{2m}(\nabla S)^2+U=0,$$

которое тоже возникает (в квазиклассическом приближении) из расщепления фазы и амплитуды в полноценном волновом уравнении Шрёдингера

$$-i\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}+\tfrac{(-i)^2}{2m}\nabla^2\Psi+U\cdot\Psi=0.$$

Таким образом, видно, что параллель такая:
- волна $A$ в волновой оптике (по сути, электромагнитная) ~~ волна $\Psi$ в квантовой механике (волновой функции). Эту волну, вместе с учётом её фазы, удобно называть "амплитудой".
- интенсивность этой волны $|A|^2$ ~~ плотность вероятности в квантовой механике $|\Psi|^2=\Psi^*\Psi$;
- фаза оптической волны, в пределе эйконал ~~ фаза квантовомеханической волны, в пределе действие как функция координат (в смысле уравнения Гамильтона-Якоби);
- если мы задаём конкретный путь, то эта фаза становится оптической длиной пути ~~ в механике мы получаем действие как функционал пути (в смысле формализма Лагранжа);
- рассматривая узкий луч, мы пренебрегаем интенсивностями за пределами этого луча, и дифракция не размывает существенно этого луча, он распространяется вперёд, перпендикулярно поверхностям равной фазы ~~ квантовая частица может двигаться почти по классической траектории (в пространстве-времени), и мы пренебрегаем волновой функцией за пределами этой траектории, и квантовая механика не размывает её существенно, частица движется "перпендикулярно" поверхностям постоянного действия - в том смысле, что её вектор $(H,p_i)$ направлен перпендикулярно этим поверхностям, по градиенту действия в пространстве-времени;
- если мы возьмём пространственные сечения такого пространственно-временного луча, то получим движение волнового пакета: импульса света в оптике ~~ почти классической частицы в механике.
- в оптике волны могут двигаться в переменном показателе преломления ~~ в механике частицы могут двигаться в переменном потенциале. Все явления аналогичны: есть отталкивание от плавно меняющегося потенциала, есть отражение и преломление, есть туннельный эффект.
Может, ещё что-то забыл.

[Ms-dos4]

Munin
Да, с оптикой отличная аналогия!

(Оффтоп)

Только в Гамильтоне-Якоби у вас лишний множитель $\[S\]$ (у потенциальной энергии)

[Munin]

(Оффтоп)

Исправил, спасибо. Приятно, что это кто-то читает :-)