Светоскоростной характер волновых уравнений КМ

[Lvov]

Предлагаю обсудить поставленный вопрос в рамках форума, ввиду отсутствия(?) его обсуждения в базовой литературе по КМ. Возможно в чем-то я ошибаюсь?

Важными уравнениями квантовой механики являются классическое волновое уравнение (ВУ) со световой скоростью распространения волн и уравнение Клейна-Гордона (УКГ). Первое из них описывает частицы с нулевой массой покоя, а второе - частицы с массой покоя, отличной от нуля. К УКГ сводятся все известные релятивистские уравнения свободных частиц с отличной от нуля массой покоя. При этом в случае многокомпонентных волновых функций (ВФ) УКГ подчиняется каждая компонента ВФ. Не будем здесь останавливаться на волновых уравнениях безмассовых частиц, хорошо изученных в классической теории поля.
Волновое уравнение для некоторой компоненты волновой функции свободной частицы с ненулевой массой имеет вид

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x_k^2} - \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} - m^2\psi=0,\:\:(1)$$

где $k=1,\,2,\,3$, $\psi=\psi(x)$ функция пространственно-временных координат.

В то время как каждая компонента волновой функции удовлетворяет уравнению второго порядка (1), совокупность компонент волновой функции может удовлетворять системе уравнений первого порядка, как это имеет место при дираковском описании электрона.

Как и классическому ВУ, уравнению Клейна-Гордона (1) отвечают волны, распространяющиеся со скоростью света. Однако, если в случае ВУ имеет место беспрепятственное распространение волн, то в случае УКГ происходит рассеяние волн с интенсивностью $m^2\psi$, а именно, в каждой пространственной точке волна рассеивается во всех направлениях при сохранении исходных значений энергии и импульса поля.

Указанная интерпретация УКГ становится понятной при сравнении ВУ с внешними источниками, то есть с отличной от нуля правой частью

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x_k^2} - \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = j(x),\:\:(2)$$

и УКГ (1) при переносе его последнего члена $m^2\psi$ в правую часть уравнения. Очевидно, что в случае УКГ источником волн в каждой точке пространства является сама волновая функция. Касаясь физического аспекта проблемы, выскажем предположение, что причиной рассеяния поля частицы является случайное вакуумное ЭМП.

Более глубокое понятие о характере изменения волновой функции дает анализ функции Грина для запаздывающего моночастотного решения (функции распространения поля) УКГ [1, 2], которая имеет вид

$$D_{\pm}(x)=\frac 1 {4\pi} \left [ \frac {\delta(r-t)} r - \theta (x^2)m\left (\frac {J_1(m\sqrt {x^2})} {\sqrt {x^2}} \pm i \frac {Y_1(m\sqrt {x^2})} {\sqrt {x^2}} \right ) \right ], \:\: (3)$$

где $x^2=t^2-r^2,$
$\theta(x)$ - единичная ступенчатая функция,
$J_1(x)$ и $Y_1(x)$ - соответственно функции Бесселя и Неймана первого порядка.
Знаковые дубликаты $\pm$ указывают знак осцилляционной частоты волновой функции (основная частица или античастица).
Для малых значений $x$ действительная часть функции (3) может быть представлена в виде ряда

$$D_{\operatorname{Re}}(x)=\frac 1 {4\pi} \left [ \frac {\delta(r-t)} r - \theta (x^2)\left (\frac {m^2} 2 - \frac {m^4x^2} {16} + \cdots \right ) \right ]. \:\: (3a)$$

Из выражения (3) следует, что запаздывающее решение включает два члена, первый из которых описывает светоскоростную расходящуюся сферическую волну, а второй - вклад от многократно рассеиваемых волн, приводящий к ослаблению вклада от первой расходящейся волны и появлению новой составляющей с фазовым сдвигом $\pm\pi/2.$
Количественный анализ выражения (3) показывает, что расстояние, на котором амплитуда бегущей волны ослабляется за счет ее рассеяния в два раза, отвечает выражению $r_\text {расс}\approx1,5r_\text {компт},$ то есть имеет порядок комптоновской длины волны частицы.
Из вышеприведенной интерпретации УКГ следует, что комптоновский размер частицы представляет собой фундаментальный показатель волнового поля. На расстояниях менее комптоновского размера волновая функция распространяется как свободное светоскоростное поле, на больших же расстояниях обнаруживается характерный осциллирующий характер ВФ.
Функция Грина определяет расхождение волны от каждой точки в области определения волновой функции. Если волновая функция постоянна в некоторой малой области пространства, то ее всенаправленные светоскоростные составляющие ввиду изотропии не проявляются явно. Но если в некоторой точке возникает неоднородность волновой функции. то в области этой точки в течение небольшого времени наблюдается светоскоростная волна определенного направления. Эту особенность можно определить словами - возмущения волновой функции частицы с ненулевой массой распространяются со скоростью света.

В случае волнового уравнения Дирака характер поведения спинорной волновой функции имеет тот же вид. Однако связь отдельных компонент между собой в соответствии с уравнениями Дирака первого порядка позволяет представить картину светоскоростного распространения волновой функции в несколько иной форме. А именно, распространение электронной волны может рассматриваться в системе координат покоя частицы как встречное движение со световыми скоростями двух поляризационных компонент поля с левой и правой спиральностью

$$\psi_{(1)}= \frac 1 2 (1+\gamma^5)\psi \,\,\text{и} \,\,\psi_{(2)}=\frac 1 2 (1-\gamma^5)\psi,\,\,\, (4)$$

взаимно преобразующихся друг в друга. Действительно, в соответствии с уравнениями Дирака, которые в данном случае приобретают вид

$$\gamma^\nu \frac {\partial\psi_{(1)}} {\partial x^\nu} = - m\psi_{(2)} \,\,\text{и} \,\, \gamma^\nu \frac {\partial\psi_{(2)}} {\partial x^\nu} = - m\psi_{(1)},\,\,\, (5)$$

имеет место взаимопреобразование указанных компонент ВФ. При этом направление распространения рассматриваемых компонент определяется псевдовектором поляризации ВФ $\Pi^\nu=\bar{\psi}\gamma^\nu\gamma^5\psi,$ а характеристический интервал взаимного преобразования рассматриваемых компонент волновой функции по-прежнему имеет порядок комптоновской длины волны частицы.
Здесь - $\gamma^5=\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^4$ - псевдоскалярная матрица Дирака.

В справедливости вышеуказанной интерпретации дираковской волновой функции можно убедиться путем несложных выкладок в системе координат покоя частицы при ориентации спина вдоль оси $z$, когда отлична от нуля единственная компонента волновой функции $\psi^1.$
Полагаем, что в некоторый момент времени $\psi^1=1,$ тогда право- и левоспиральные компоненты волновой функции в соответствии с формулами (4) имеют вид

$$\psi_{(1)}=(\frac 12,\,0,\,\frac 12,\,0)\,\,\, \psi_{(2)}= (\frac 12,\,0,\,-\frac 12,\,0).$$

Равенство модулей первой и третьей компоненты волновой функции свидетельствует об их световой скорости направленной по оси $z$, в то время как противоположные знаки указанных компонент свидетельствуют о встречном распространении рассматриваемых составляющих ВФ. Вышеуказанное подтверждение верности приведенных формул, записанных в ковариантной форме, в частном случае свидетельствует об их справедливости в общем случае ВФ электрона.
Тот же вывод можно получить из рассмотрения уравнений (5), которые при отбрасывании массовых членов в правой части определяют светоскоростной характер распространения возмущения составляющих $\psi_{(1)}$ и $\psi_{(2)}$ ВФ.

Литераттура
1. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Квантованные поля. Москва, "Наука", 1980 г.
2. Вальтер Е.Тирринг. Принципы квантовой электродинамики. "Высшая школа", Москва, 1964г.

[Munin]

Lvov в сообщении #834867 писал(а):

Как и классическому ВУ, уравнению Клейна-Гордона (1) отвечают волны, распространяющиеся со скоростью света. Однако, если в случае ВУ имеет место беспрепятственное распространение волн, то в случае УКГ происходит рассеяние волн с интенсивностью $m^2\psi$, а именно, в каждой пространственной точке волна рассеивается во всех направлениях при сохранении исходных значений энергии и импульса поля.

Нет, вы поняли неправильно.

В безмассовом уравнении волны распространяются со скоростью света. В уравнении Клейна-Гордона с массой - со скоростью меньше скорости света.

Основные волновые свойства уравнения видны, если рассмотреть его дисперсионную зависимость - соотношение волновых векторов и частот, которые удовлетворяют этому уравнению, для плоских гармонических волн. В безмассовом случае, это будет соотношение

$$\omega^2=k^2,\quad \omega=|\mathbf{k}|,$$

а в массивном случае - соотношение

$$\omega^2=k^2+m^2,\quad \omega=\sqrt{k^2+m^2}.$$

Эти уравнения описывают в безмассовом случае конус, а в массивном - гиперболоид - массовую поверхность (mass shell, иногда "массовую оболочку"). Все остальные решения получаются суперпозицией волн с волновыми 4-векторами, укладывающимися на эту поверхность.

Поразмышляв над этой поверхностью, становится ясно, что в безмассовом случае волновые пакеты произвольной формы распространяются от источника без дисперсии, а в массивном - с дисперсией, причём более длинноволновые ($k$ меньше) составляющие обгоняют коротковолновые (фазовая скорость $\omega/k$ больше). И разумеется, фазовая скорость волн в безмассовом случае больше скорости света, а групповая скорость $d\omega/dk$ - меньше. Вот и всё. Никакого "рассеяния в каждой точке" (хотя и его тоже можно ввести, если вспомнить принцип Гюйгенса).

[Lvov]

Munin в сообщении #834876 писал(а):

Нет, вы поняли неправильно.
...Никакого "рассеяния в каждой точке" (хотя и его тоже можно ввести, если вспомнить принцип Гюйгенса).

Г. Munin, Вы все сказали правильно, кроме цитированных мною слов.
Дело в том, что Вы приводите результаты спектрального анализа уравнения Клейна-Гордона (УКГ), я же анализирую решения при использовании импульсного метода, метода функции Грина. Этот метод позволяет установить новые особенности решений УКГ.

Что касается принципа Гюйгенса, то его применение в случае волнового уравнения имеет несколько условный характер. Гюйгенс определяет решение, как огибающую элементарных волн. В случае же УКГ элементарные светоскоростные и рассеиваемые волны непосредственно являются составляющими решения волнового уравнения.

Пользуясь случаем, хочу немного поправить свое стартовое сообщение. При указании функции Грина (3), было сказано "функция Грина для запаздывающего моночастотного решения". На самом же деле речь идет о едином знаке осцилляционных частот спектральных составляющих для каждого из двух вариантов функции Грина, отличающихся знаком перед последним слагаемым.

[Munin]

Lvov в сообщении #835154 писал(а):

Дело в том, что Вы приводите результаты спектрального анализа уравнения Клейна-Гордона (УКГ), я же анализирую решения при использовании импульсного метода, метода функции Грина.

А решения одни и те же по определению.

Lvov в сообщении #835154 писал(а):

Гюйгенс определяет решение, как огибающую элементарных волн.

Ну, это только в школе на пальцах. Всеьёз, Гюйгенс определяет решение как интеграл от функции Грина, умноженной на интенсивность вторичных источников на промежуточной волновой поверхности (не обязательно фронте, там можно учесть фазу и поляризацию - это называется уже Гюйгенсом-Френелем, если точно).

[Lvov]

Munin в сообщении #835183 писал(а):

А решения одни и те же по определению.

Совершенно верно, конечные решения одни и те же. Но характер изменения волновой функции при малых интервалах времени проясняется при анализе функции Грина.

Цитата:

Lvov в сообщении #835154 писал(а):
Гюйгенс определяет решение, как огибающую элементарных волн.
Ну, это только в школе на пальцах. Всеьёз, Гюйгенс определяет решение как интеграл от функции Грина, умноженной на интенсивность вторичных источников на промежуточной волновой поверхности (не обязательно фронте, там можно учесть фазу и поляризацию - это называется уже Гюйгенсом-Френелем, если точно).

Согласен с Вами. Извиняюсь, я поспешил с ответом. Действительно, в приведенной в стартовом сообщении формуле (3) для функции Грина УКГ при подстановке $m=0$ остается только один первый член, и она переходит в функцию Грина для распространения волн, отвечающих волновому уравнению для безмассовой частицы.

[Munin]

Lvov в сообщении #835366 писал(а):

Но характер изменения волновой функции при малых интервалах времени проясняется при анализе функции Грина.

Что вам проясняется?

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #834867 писал(а):

Из вышеприведенной интерпретации УКГ следует, что комптоновский размер частицы представляет собой фундаментальный показатель волнового поля. На расстояниях менее комптоновского размера волновая функция распространяется как свободное светоскоростное поле, на больших же расстояниях обнаруживается характерный осциллирующий характер ВФ.

Ну, как бы, и так понятно, что если комптоновская длина будет много больше размеров лаборатории, то в лабораторных экспериментах трудновато будет установить массивное ли это поле или безмассовое. В "маленькой" лаборатории такое поле, очевидно, будет вести себя почти как безмассовое, то есть, как вы говорите, светоскоростное.

[Lvov]

Munin в сообщении #835396 писал(а):

Что вам проясняется?

Проясняется, что на малые расстояния, менее или порядка длины волны Комптона, возмущения волновой функции уравнений Клейна-Гордона и Дирака распространяются со скоростью света.

-- 11.03.2014, 17:36 --

SergeyGubanov в сообщении #835424 писал(а):

Ну, как бы, и так понятно, что если комптоновская длина будет много больше размеров лаборатории, то в лабораторных экспериментах трудновато будет установить массивное ли это поле или безмассовое.

Но комптоновская длина волны у самой легкой частицы - электрона имеет порядок $10^{-11}$ см. Вот если бы электрон удалось запереть внутри протона или ядра, там он бегал бы со скоростью света.
Все это - болтовня.

[Munin]

Кажется, верно, но это противоречит вашим формулам (3) в первом сообщении.
В Полянине "Справочник по линейным уравнениям математической физики" формула (3) (без мнимого слагаемого) дана не как функция Грина, а как характеристическое update: фундаментальное решение уравнения Клейна-Гордона. Связаны они между собой как $\mathcal{G}(\mathbf{r},t)=\partial\mathcal{E}(\mathbf{r},t)/\partial t.$ После дифференцирования, второе слагаемое принимает вид

$$-\dfrac{m\,t\,J_2(m\sqrt{x^2})}{x^2},$$

и обращается в нуле в нуль (не считая дельта-функции за счёт функции Хевисайда).

[Lvov]

Munin в сообщении #835612 писал(а):

В Полянине "Справочник по линейным уравнениям математической физики" формула (3) (без мнимого слагаемого) дана не как функция Грина, а как характеристическое решение уравнения Клейна-Гордона. Связаны они между собой как $\mathcal{G}(\mathbf{r},t)=\partial\mathcal{E}(\mathbf{r},t)/\partial t.$ После дифференцирования, второе слагаемое принимает вид

$$-\dfrac{m\,t\,J_2(m\sqrt{x^2})}{x^2},$$

и обращается в нуле в нуль (не считая дельта-функции за счёт функции Хевисайда).

Конечно же, я, мягко говоря, поднаврал. Функции $D_{\pm}(x) \,\, (3)$ являются характеристическими (сингулярными) положительно- и отрицательно-частотными решениями уравнения Клейна-Гордона (УКГ) при наличии возмущения в виде функции $\delta(x)$, записываемой в правой части уравнения. К тому же для обозначения характеристических решений УКГ используется символ $\Delta$, а не $D,$ как у меня.
Формулы с действительной и мнимой частью я заимствовал из источника В.Тирринг "Принципы квантовой электродинамики", 1964, (Д2.13).

Приведенную функцию $D_\pm(x)\,\, (3)$ можно использовать в качестве функции Грина второго рода для определения поправочного решения при наличии произвольной функции источников возмущения решения УКГ для свободной частицы.

Основная функция Грина для решения задачи Коши, действительно, имеет вид

$$G\pm (x)=\frac {\partial} {\partial t} D_{\pm}(x) = \frac {\theta(t)} {4\pi} \left [ \frac {\delta '(t-r)} r + \frac {\theta (x^2)m^2 t J_2(m\sqrt{x^2})} {x^2} \mp \frac {\theta (x^2)m^2 t Y_2(m\sqrt{x^2})} {x^2}\right ],$$

где $x^2=t^2-r^2,$
$\theta(x)$ - единичная ступенчатая функция,
$J_2(x)$ и $Y_2(x)$ - соответственно функции Бесселя и Неймана второго порядка,
символ ' обозначает дифференцирование по времени.
В этом случае определение решения УКГ при задании начальной функции $\psi(x_0)$ при $t=t_0$ для $t>0$ производится по формулам

$$\psi_\pm (x) = \int G_\pm (x-x_0)\psi(x_0)d^3x_0.$$

В оправдание замечу, что, хотя я напутал в данной теме, в моей статье, , посвященной решению УКГ, формулы (6, 7, 8) соответствуют указанным в данном сообщении.

[SergeyGubanov]

А вроде трёхмерность не принципиальна в данном случае. Для упрощения можно рассмотреть пространственно-одномерное уравнение

$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + m^2 \psi = 0 $$

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #835956 писал(а):

А вроде трёхмерность не принципиальна в данном случае. Для упрощения можно рассмотреть пространственно-одномерное уравнение

Вообще-то функции Грина уравнения Клейна-Гордона от размерности сильно зависят. Даже безмассового волнового уравнения - сильно зависят. Например, в нечётных размерностях (включая время), они не помещаются целиком на световом конусе.

[telik]

Munin в сообщении #835981 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #835956 писал(а):

А вроде трёхмерность не принципиальна в данном случае. Для упрощения можно рассмотреть пространственно-одномерное уравнение

Вообще-то функции Грина уравнения Клейна-Гордона от размерности сильно зависят. Даже безмассового волнового уравнения - сильно зависят. Например, в нечётных размерностях (включая время), они не помещаются целиком на световом конусе.

Покажите как функция грина зависит от размерностей в виде формул.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #835981 писал(а):

Вообще-то функции Грина уравнения Клейна-Гордона от размерности сильно зависят.

Конечно сильно зависят, однако, для выяснения принципиального характера "светоскоростнутости" на мелком масштабе это ж не важно, но одномерный случай сильно проще... так зачем платить больше?

[Munin]

telik в сообщении #836001 писал(а):

Покажите как функция грина зависит от размерностей в виде формул.

Я процитирую Полянина: фундаментальное решение волнового уравнения $\dfrac{\partial^2w}{\partial t^2}=a^2\Delta_n w$ есть

$$\mathcal{E}(\mathbf{x},t)=\begin{cases}\dfrac{(-1)^{\frac{n-2}{2}}}{2a\pi^{\frac{n+1}{2}}}\Gamma\left(\dfrac{n-1}{2}\right)\dfrac{\vartheta(at-|\mathbf{x}|)}{(a^2t^2-|\mathbf{x}|^2)^{\frac{n-1}{2}}},&\qquad\text{при чётном }n\geqslant 2\\\dfrac{1}{2\pi a}\left(\dfrac{1}{2\pi a^2t}\dfrac{\partial}{\partial t}\right)^{\frac{n-3}{2}} \delta(a^2t^2-|\mathbf{x}|^2),&\qquad\text{при нечётном }n\geqslant 3\end{cases}$$

Функция Грина будет от неё производной по времени. Далее, фундаментальное решение уравнения Клейна-Гордона $\dfrac{\partial^2w}{\partial t^2}=a^2\Delta_n w-c^2w$ в явном виде не приведено, но приведён метод решения:

$$w(\mathbf{x},t)=\dfrac{1}{\cos(c x_{n+1})}u(\mathbf{x},x_{n+1},t),$$

где $u$ - решение задачи Коши для вспомогательного $(n+1)$-мерного волнового уравнения $\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\Delta_{n+1}u$ с начальными условиями, представляющими собой начальные условия для $w,$ умноженные на $\cos(c x_{n+1}).$ Соответственно, функция Грина с фундаментальным решением связана точно так же.

Кажется, приведённая формула фундаментального решения и для $n=1$ работает, если аккуратно взять степень $-1$ от оператора дифференцирования. Если что, одномерная формула

$$\mathcal{E}(x,t)=\dfrac{1}{2a}\theta(at-|x|).$$

SergeyGubanov в сообщении #836010 писал(а):

Конечно сильно зависят, однако, для выяснения принципиального характера "светоскоростнутости" на мелком масштабе это ж не важно

Как раз важно. Как раз асимптотическое поведение в нуле у этих функций различное.