Линейная независимость - 2.

[main.c]

Доказать,что в пространстве функций одной вещественной переменной векторы $f_1, ...,f_n$ ЛНЗ $\Leftrightarrow \exists \{a_1, ..., a_n\}: \det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix} \neq 0 $
В ответах доказывается через индукцию, но я подумал, что можно проще:
Пусть $f_1, ...,f_n$ ЛНЗ, но $\forall \{a_1, ..., a_n\}: \det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix} = 0$ , так как определитель равен нулю строки составленной матрицы ЛЗ, а так как $\{a_1, ..., a_n\}$ - это любые числа, то из этого следует, что функции ЛЗ - пришли к противоречию;
Теперь в обратную сторону:
\exists \{a_1, ..., a_n\}: \det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix} \neq 0 $, предположим, что функции ЛЗ, но тогда строки данной матрицы тоже ЛЗ, а значит $\det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix} = 0 $, снова противоречие.
Вроде всё верно. Так ведь?

[patzer2097]

main.c в сообщении #834341 писал(а):

а так как $\{a_1, ..., a_n\}$ - это любые числа, то из этого следует, что функции ЛЗ

а как следует? следует пока только, что строки любой Вашей $n\times n$ матрицы линейно зависимы

[svv]

main.c в сообщении #834341 писал(а):

так как определитель равен нулю, строки составленной матрицы ЛЗ, а так как $\{a_1, ..., a_n\}$ - это любые числа, то из этого следует, что функции ЛЗ

Допустим, строки линейно зависимы, то есть существуют такие коэффициенты $\lambda_i, i=1..n$, что если на них соответственно умножить строки и сложить, получится нулевая строка. Отлично? Погодите. А вдруг для других $a_j$ строки хоть и получатся зависимыми, но только с другими $\lambda_i$, то есть коэффициенты в линейной комбинации строк будут зависеть от выбора $a_j$. Вдруг так? Тогда мы ни один из наборов $\lambda_i$ не сможем использовать для составления линейной комбинации функций, которая равна нулю независимо от $a$.

UPD patzer2097 о том же.

[main.c]

svv в сообщении #834425 писал(а):

main.c в сообщении #834341 писал(а):

так как определитель равен нулю, строки составленной матрицы ЛЗ, а так как $\{a_1, ..., a_n\}$ - это любые числа, то из этого следует, что функции ЛЗ

Допустим, строки линейно зависимы, то есть существуют такие коэффициенты $\lambda_i, i=1..n$, что если на них соответственно умножить строки и сложить, получится нулевая строка. Отлично? Погодите. А вдруг для других $a_j$ строки хоть и получатся зависимыми, но только с другими $\lambda_i$, то есть коэффициенты в линейной комбинации строк будут зависеть от выбора $a_j$. Вдруг так? Тогда мы ни один из наборов $\lambda_i$ не сможем использовать для составления линейной комбинации функций, которая равна нулю независимо от $a$.

UPD patzer2097 о том же.

Более строго:
строки ЛЗ, это значит, что существуют $\lambda_i, i=1..n$, одновременно не равные нулю, такие что:
$\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i(f_i(a_1), \cdots, f_i(a_n)) = 0$

В частности:
$\forall a_1$ \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(a_1)= 0$

А теперь от противного, пусть эти функции ЛНЗ, это значит, что не существует $\lambda_i, i=1..n$, одновременно не равных нулю, таких что:
$\forall a_1$ \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(a_1)= 0$

Пришли к противоречию!

Здесь снова ошибка?

[Otta]

main.c в сообщении #834489 писал(а):

В частности:
$\forall a_1 \,\sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(a_1)= 0$

А теперь от противного, пусть эти функции ЛНЗ, это значит, что не существует $\lambda_i, i=1..n$, одновременно не равных нулю, таких что:
$\forall a_1\, \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(a_1)= 0$

Ошибка осталась.

Функции линейно зависимы, когда найдется такой набор $\lambda_i$, одинаковый для всех точек.
То есть существуют (не все нулевые) $\lambda_1,\ldots\lambda_n$ такие что $\sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i= 0$, то есть последнее равенство выполнено для всех значений аргумента. Еще раз: можно выбрать один набор для всех значений аргумента функции, т.е. не зависящий от аргумента функции.
Вы же в каждой точке выбираете, вообще говоря, свой набор.

Пример. Функции $e^x$ и $e^{2x}$, как Вы видели, линейно независимы. Что не мешает при каждом фиксированном $x=x_0$ выбрать набор в $\lambda_1e^{x_0}+\lambda_2e^{2x_0}=0$, так что даже оба коэффициента будут ненулевыми. Так вот Вами проделано именно это действие.

[main.c]

Так, понял, тогда по частям, докажу необходимость:
$f_1, ..., f_n$ ЛНЗ
$ \Leftrightarrow \nexists \{\lambda_1, ..., \lambda_n| \lambda_i\neq0 \}: \forall x \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(x)= 0 \Rightarrow \\\forall \{a_1, ..., a_n\}: \det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix}\neq0 $

Необходимость доказали, вот эта часть доказательства верна?

[ewert]

main.c в сообщении #834503 писал(а):

вот эта часть доказательства верна?

Не только это доказательство неверно, но неверно даже и само это утверждение.

[main.c]

ewert в сообщении #834510 писал(а):

main.c в сообщении #834503 писал(а):

вот эта часть доказательства верна?

Не только это доказательство неверно, но неверно даже и само это утверждение.

Как это оно не верно, если в задаче сказано докажите это утверждение

[ewert]

main.c в сообщении #834515 писал(а):

, если в задаче сказано докажите это утверждение

В задаче сказано не это.

[main.c]

ewert в сообщении #834521 писал(а):

main.c в сообщении #834515 писал(а):

, если в задаче сказано докажите это утверждение

В задаче сказано не это.

А можно по-подробней? Я Вас не понимаю, да, там не сказано дословно "докажите утверждение", там сказано "доказать, что" {утверждение}.

[Otta]

Так Вы сравните. Формулировка на этой странице.
Ваше утверждение неверно.

[main.c]

main.c в сообщении #834503 писал(а):

Так, понял, тогда по частям, докажу необходимость:
$f_1, ..., f_n$ ЛНЗ
$ \Leftrightarrow \nexists \{\lambda_1, ..., \lambda_n| \lambda_i\neq0 \}: \forall x \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(x)= 0 \Rightarrow \\\forall \{a_1, ..., a_n\}: \det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix}\neq0 $

Я просто не дописал, из последнего следует, что раз для любых, то уж тем более существует набор {$a_1, ..., a_n$}, такой, что детерминант не равен нулю.
Разве не это является необходимостью исходного утверждения?

[ewert]

main.c в сообщении #834532 писал(а):

раз для любых, то уж тем более существует набор {$a_1, ..., a_n$}

А с чего Вы взяли, что для любых? Это очевидно неверно.

[Otta]

main.c
$\sin x$ и $\cos x$ линейно независимы?

[main.c]

Otta в сообщении #834537 писал(а):

main.c
$\sin x$ и $\cos x$ линейно независимы?

Да, линейно независимы