В частности:

А теперь от противного, пусть эти функции ЛНЗ, это значит, что не существует

, одновременно не равных нулю, таких что:

Ошибка осталась.
Функции линейно зависимы, когда найдется такой набор

, одинаковый для всех точек.
То есть существуют (не все нулевые)

такие что

, то есть последнее равенство выполнено для всех значений аргумента. Еще раз: можно выбрать один набор для всех значений аргумента функции, т.е. не зависящий от аргумента функции.
Вы же в каждой точке выбираете, вообще говоря, свой набор.
Пример. Функции

и

, как Вы видели, линейно независимы. Что не мешает при каждом фиксированном

выбрать набор в

, так что даже оба коэффициента будут ненулевыми. Так вот Вами проделано именно это действие.