2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Линейная независимость - 2.
Сообщение08.03.2014, 21:52 
Доказать,что в пространстве функций одной вещественной переменной векторы $f_1, ...,f_n$ ЛНЗ $\Leftrightarrow \exists \{a_1, ..., a_n\}: 
\det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix} \neq 0 $
В ответах доказывается через индукцию, но я подумал, что можно проще:
Пусть $f_1, ...,f_n$ ЛНЗ, но $\forall \{a_1, ..., a_n\}: 
\det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix} = 0$ , так как определитель равен нулю строки составленной матрицы ЛЗ, а так как $\{a_1, ..., a_n\}$ - это любые числа, то из этого следует, что функции ЛЗ - пришли к противоречию;
Теперь в обратную сторону:
\exists \{a_1, ..., a_n\}: \det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix} \neq 0 $, предположим, что функции ЛЗ, но тогда строки данной матрицы тоже ЛЗ, а значит $\det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix} = 0 $, снова противоречие.
Вроде всё верно. Так ведь?

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 00:42 
main.c в сообщении #834341 писал(а):
а так как $\{a_1, ..., a_n\}$ - это любые числа, то из этого следует, что функции ЛЗ
а как следует? следует пока только, что строки любой Вашей $n\times n$ матрицы линейно зависимы

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 00:46 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #834341 писал(а):
так как определитель равен нулю, строки составленной матрицы ЛЗ, а так как $\{a_1, ..., a_n\}$ - это любые числа, то из этого следует, что функции ЛЗ
Допустим, строки линейно зависимы, то есть существуют такие коэффициенты $\lambda_i, i=1..n$, что если на них соответственно умножить строки и сложить, получится нулевая строка. Отлично? Погодите. А вдруг для других $a_j$ строки хоть и получатся зависимыми, но только с другими $\lambda_i$, то есть коэффициенты в линейной комбинации строк будут зависеть от выбора $a_j$. Вдруг так? Тогда мы ни один из наборов $\lambda_i$ не сможем использовать для составления линейной комбинации функций, которая равна нулю независимо от $a$.

UPD patzer2097 о том же.

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 10:38 
svv в сообщении #834425 писал(а):
main.c в сообщении #834341 писал(а):
так как определитель равен нулю, строки составленной матрицы ЛЗ, а так как $\{a_1, ..., a_n\}$ - это любые числа, то из этого следует, что функции ЛЗ
Допустим, строки линейно зависимы, то есть существуют такие коэффициенты $\lambda_i, i=1..n$, что если на них соответственно умножить строки и сложить, получится нулевая строка. Отлично? Погодите. А вдруг для других $a_j$ строки хоть и получатся зависимыми, но только с другими $\lambda_i$, то есть коэффициенты в линейной комбинации строк будут зависеть от выбора $a_j$. Вдруг так? Тогда мы ни один из наборов $\lambda_i$ не сможем использовать для составления линейной комбинации функций, которая равна нулю независимо от $a$.

UPD patzer2097 о том же.

Более строго:
строки ЛЗ, это значит, что существуют $\lambda_i, i=1..n$, одновременно не равные нулю, такие что:
$\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i(f_i(a_1), \cdots, f_i(a_n)) = 0$

В частности:
$\forall a_1$ \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(a_1)= 0$

А теперь от противного, пусть эти функции ЛНЗ, это значит, что не существует $\lambda_i, i=1..n$, одновременно не равных нулю, таких что:
$\forall a_1$ \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(a_1)= 0$

Пришли к противоречию!

Здесь снова ошибка?

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 11:35 
main.c в сообщении #834489 писал(а):
В частности:
$\forall a_1 \,\sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(a_1)= 0$

А теперь от противного, пусть эти функции ЛНЗ, это значит, что не существует $\lambda_i, i=1..n$, одновременно не равных нулю, таких что:
$\forall a_1\, \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(a_1)= 0$

Ошибка осталась.

Функции линейно зависимы, когда найдется такой набор $\lambda_i$, одинаковый для всех точек.
То есть существуют (не все нулевые) $\lambda_1,\ldots\lambda_n$ такие что $\sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i= 0$, то есть последнее равенство выполнено для всех значений аргумента. Еще раз: можно выбрать один набор для всех значений аргумента функции, т.е. не зависящий от аргумента функции.
Вы же в каждой точке выбираете, вообще говоря, свой набор.

Пример. Функции $e^x$ и $e^{2x}$, как Вы видели, линейно независимы. Что не мешает при каждом фиксированном $x=x_0$ выбрать набор в $\lambda_1e^{x_0}+\lambda_2e^{2x_0}=0$, так что даже оба коэффициента будут ненулевыми. Так вот Вами проделано именно это действие.

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 12:38 
Так, понял, тогда по частям, докажу необходимость:
$f_1, ..., f_n$ ЛНЗ
$
\Leftrightarrow \nexists \{\lambda_1, ..., \lambda_n| \lambda_i\neq0  \}: \forall x \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(x)= 0 \Rightarrow \\\forall \{a_1, ..., a_n\}: \det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix}\neq0
$

Необходимость доказали, вот эта часть доказательства верна?

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 12:56 
main.c в сообщении #834503 писал(а):
вот эта часть доказательства верна?

Не только это доказательство неверно, но неверно даже и само это утверждение.

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 13:06 
ewert в сообщении #834510 писал(а):
main.c в сообщении #834503 писал(а):
вот эта часть доказательства верна?

Не только это доказательство неверно, но неверно даже и само это утверждение.

Как это оно не верно, если в задаче сказано докажите это утверждение :lol:

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 13:15 
main.c в сообщении #834515 писал(а):
, если в задаче сказано докажите это утверждение :lol:

В задаче сказано не это.

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 13:22 
ewert в сообщении #834521 писал(а):
main.c в сообщении #834515 писал(а):
, если в задаче сказано докажите это утверждение :lol:

В задаче сказано не это.

А можно по-подробней? Я Вас не понимаю, да, там не сказано дословно "докажите утверждение", там сказано "доказать, что" {утверждение}.

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 13:24 
Так Вы сравните. Формулировка на этой странице.
Ваше утверждение неверно.

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 13:37 
main.c в сообщении #834503 писал(а):
Так, понял, тогда по частям, докажу необходимость:
$f_1, ..., f_n$ ЛНЗ
$
\Leftrightarrow \nexists \{\lambda_1, ..., \lambda_n| \lambda_i\neq0  \}: \forall x \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if_i(x)= 0 \Rightarrow \\\forall \{a_1, ..., a_n\}: \det\begin{Vmatrix}f_i(a_j) \end{Vmatrix}\neq0
$

Я просто не дописал, из последнего следует, что раз для любых, то уж тем более существует набор {$a_1, ..., a_n$}, такой, что детерминант не равен нулю.
Разве не это является необходимостью исходного утверждения?

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 13:43 
main.c в сообщении #834532 писал(а):
раз для любых, то уж тем более существует набор {$a_1, ..., a_n$}

А с чего Вы взяли, что для любых? Это очевидно неверно.

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 13:44 
main.c
$\sin x$ и $\cos x$ линейно независимы?

 
 
 
 Re: Линейная независимость - 2.
Сообщение09.03.2014, 13:46 
Otta в сообщении #834537 писал(а):
main.c
$\sin x$ и $\cos x$ линейно независимы?

Да, линейно независимы

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group