Пи в степени пи в степени пи...целое?

[MestnyBomzh]

Нашел на просторах интернета любопытный факт: неизвестно, является ли число $^4\pi=\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}$ целым. Равзе нельзя посчитать это примерно? Неужели ни один компьютер не может сохранить такое (хоть и действительно большое) число?

[venco]

Ни один не может. Только на хранение потребуется четверть эксабайта. Но проблема больше не в хранении, а в вычислении. Потребуется исходное значение $\pi$ как минимум такой же точности, а нынешний рекорд - всего лишь 1 терабайт.

(исправил размер)

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #833173 писал(а):

Неужели ни один компьютер не может сохранить такое (хоть и действительно большое) число?

ну.. в нем порядка $10^{18}$ цифр.. где-то на грани между "может" и "не может". только кому нужно его считать, что это даст?

[ИСН]

Даже если бы его можно было сохранить, и даже посчитать примерно, и даже посчитать точно, и даже посчитать очень-очень-очень точно - это не имело бы никакого отношения к вопросу о том, является ли оно рациональным. (С целым примерно та же фигня.)

[Vince Diesel]

MestnyBomzh в сообщении #833173 писал(а):

Нашел на просторах интернета любопытный факт: неизвестно, является ли число $^4\pi=\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}$ целым. Равзе нельзя посчитать это примерно? Неужели ни один компьютер не может сохранить такое (хоть и действительно большое) число?

Если бы это примерно подсчитали, на просторах интернета появился бы факт: неизвестно, является ли число $\pi^{\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}}$ целым.

[Евгений Машеров]

Доказать эту гипотезу вычислением нельзя. Потому, что вычисления делаются не с точным (бесконечнозначным) значением $\pi$, а с конечнозначными приближениями. То есть, используя арифметику многократной точности, можно получить вывод, что, взяв n знаков для приближения $\pi$, мы получили результат, отличный от целого на величину, которая может объясняться влиянием ошибки приближения $\pi$. Ну, или отличие от целого будет настолько велико, что списать его на "ошибку в последнем знаке" не получится. Тогда гипотеза будет опровергнута. Какой точности приближения использовали для проверки гипотезы - не вем. Подозреваю, что не миллиард знаков.
Сама по себе задача может быть хороша в учебных (по курсу "вычисления с многократной точностью"), спортивной ("наш университет вычислил с точностью в N знаков, впервые в Верхней Вольтемире!") или рекламных ("новейший суперкомпьютер нашей фирмы вычислил...") целях, польза собственно для математики не просматривается. Впрочем, если будет придуман способ доказать факт целочисленности (или опровергнуть) не тупым счётом, а строго, это может способствовать развитию новых методов, но здесь "Движение - всё, конечная цель - ничто!" в смысле появление новых идей полезно в разных задачах, а сам по себе факт целочисленности никуда не приткнуть.

[MestnyBomzh]

Евгений Машеров в сообщении #833315 писал(а):

То есть, используя арифметику многократной точности, можно получить вывод, что, взяв n знаков для приближения $\pi$, мы получили результат, отличный от целого на величину, которая может объясняться влиянием ошибки приближения $\pi$. Ну, или отличие от целого будет настолько велико, что списать его на "ошибку в последнем знаке" не получится

В таком случае, нельза даже сказать, является ли число $\pi^{\pi}$ целым, так как даже тогда мы будем использовать только некоторые конченые приближения?

[Shadow]

MestnyBomzh в сообщении #833692 писал(а):

В таком случае, нельза даже сказать, является ли число $\pi^{\pi}$ целым, так как даже тогда мы будем использовать только некоторые конченые приближения?

Ну почему же. При достаточной точности...

$\\3.141<\pi<3.142\\ 36<3.141^{3.141}<37\\ 36<3.142^{3.142}<37\\$

[Евгений Машеров]

Калькулятор для $\pi^\pi$ даёт значение 36.462159607207911770990826022692
Точность приближения для числа $\pi$ составляет несколько десятков знаков, так что легко показать, что возможная погрешность вычисления существенно меньше, чем отклонение данного результата от целого.
Совсем строго - можно использовать интервальную арифметику. Использовать тот факт, что функция $a^b$ при $a>1$ монотонно возрастающая от b, и при $b>1$ монотонно возрастающая от $a$.
Взяв приближения к $\pi$ с недостатком (скажем, $3.1415$) и с избытком ($3.1416$), получим, что точное значение лежит между $36.4549$ и $36.4628$, так что никак не может быть целым.

[Лукомор]

Евгений Машеров в сообщении #833704 писал(а):

Взяв приближения к $\pi$ с недостатком (скажем, 3.1415) и с избытком (3.1416), получим, что точное значение лежит между 36.4549 и 36.4628, так что никак не может быть целым.

Я извиняюсь спросить, вот если я возьму на калькуляторе приближение к $\pi$ с недостатком, скажем
$3.1415926535897932384626433832795$
и с избытком
$3.1415926535897932384626433832805$
то точное значение будет лежать между
$2598761979625197.5214462849737795$
и
$2598761979625197.5214462849738933$
так что никак не может быть целым...
Что я делаю не так?

[Алексей К.]

Скобочки не так подразумеваете. Вы сосчитали $\pi^{(\pi^3)}=\pi^{\pi^3}$.

[Евгений Машеров]

Наверно, Вы считаете что-то иное.
$\pi^\pi=36.462159607207911770990826022692$
(с "калькуляторной точностью")
$\pi^{\pi^\pi}=1340164183006357435.2974491296401$
$\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ будет иметь что-то около 666262452970848504 десятичных знаков.

-- 11 мар 2014, 13:46 --

Скорее всего, у Вас вычисляется $((\pi^\pi)^\pi)^\pi$
А это совсем иное число, и ответ на вопрос о его целочисленности куда тривиальнее.
Показатели степени, если иного не указано скобками, считаются "сверху вниз".

[Лукомор]

Евгений Машеров в сообщении #835487 писал(а):

Наверно, Вы считаете что-то иное.

Да, это я протупил с точностью до наоборот!
Спасибо!

[galenin]

Скорее обезьяна напечатает "Войну и мир", нежели человек создаст целое число из $\pi$

[whitefox]

Но почему же, вот целое из $\pi$:
$\lfloor\pi\rfloor=\pi-\{\pi\}=3$