Обязательно ли сепарабельное пространство с первой аксиомой счётности удовлетворяет второй аксиоме счётности?
Ответ: Да.
Пусть

— счётное всюду плотное множество в

, а

— это точка с номером

из

в какой-нибудь нумерации, а

— счётная база точки

. Тогда

— требуемая счётная база всего пространства, покажем это.
Возьмём любое открытое множество

из пространства и любую точку

из него — она является точкой прикосновения для

, а значит существует точка

из

такая, что

, тогда

есть также окрестность для

и может быть представлена как объединение множеств из

.
Так?