Прошу проверить решение (Общая топология)

[kp9r4d]

Обязательно ли сепарабельное пространство с первой аксиомой счётности удовлетворяет второй аксиоме счётности?
Ответ: Да.

Пусть $K$ — счётное всюду плотное множество в $T$, а $K_i$ — это точка с номером $i$ из $K$ в какой-нибудь нумерации, а $B_i$ — счётная база точки $K_i$. Тогда $B = \bigcup\limits_{t=1}^\infty B_k$ — требуемая счётная база всего пространства, покажем это.
Возьмём любое открытое множество $O$ из пространства и любую точку $o$ из него — она является точкой прикосновения для $K$, а значит существует точка $k$ из $K$ такая, что $k \in O$, тогда $O$ есть также окрестность для $k$ и может быть представлена как объединение множеств из $B_k$.
Так?

[Someone]

kp9r4d в сообщении #833247 писал(а):

тогда $O$ есть также окрестность для $k$ и может быть представлена как объединение множеств из $B_k$.

С чего бы это вдруг?

Контрпример — прямая Зоргенфрея.

[kp9r4d]

Someone в сообщении #833298 писал(а):

С чего бы это вдруг?

$O$ окрестность $k$ по определению (открытое множество, содержащее $k$), может быть представлена как объеденение множеств из $B_k$ по определению базы точки (любая окрестность точки может быть представлена как объеденение каких-то элементов базы данной точки).
Я не понимаю каким образом ваш контрпример — контрпример, объясните, пожалуйста, поподробнее.

[RIP]

kp9r4d в сообщении #833466 писал(а):

по определению базы точки (любая окрестность точки может быть представлена как объеденение каких-то элементов базы данной точки)

это не есть определение базы в точке

[kp9r4d]

RIP в сообщении #833493 писал(а):

это не есть определение базы в точке

Действительно...