2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Прошу проверить решение (Общая топология)
Сообщение06.03.2014, 01:21 
Аватара пользователя
Обязательно ли сепарабельное пространство с первой аксиомой счётности удовлетворяет второй аксиоме счётности?
Ответ: Да.

Пусть $K$ — счётное всюду плотное множество в $T$, а $K_i$ — это точка с номером $i$ из $K$ в какой-нибудь нумерации, а $B_i$ — счётная база точки $K_i$. Тогда $B = \bigcup\limits_{t=1}^\infty B_k$ — требуемая счётная база всего пространства, покажем это.
Возьмём любое открытое множество $O$ из пространства и любую точку $o$ из него — она является точкой прикосновения для $K$, а значит существует точка $k$ из $K$ такая, что $k \in O$, тогда $O$ есть также окрестность для $k$ и может быть представлена как объединение множеств из $B_k$.
Так?

 
 
 
 Re: Прошу проверить решение (Общая топология)
Сообщение06.03.2014, 10:12 
Аватара пользователя
kp9r4d в сообщении #833247 писал(а):
тогда $O$ есть также окрестность для $k$ и может быть представлена как объединение множеств из $B_k$.
С чего бы это вдруг?

Контрпример — прямая Зоргенфрея.

 
 
 
 Re: Прошу проверить решение (Общая топология)
Сообщение06.03.2014, 18:58 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #833298 писал(а):
С чего бы это вдруг?

$O$ окрестность $k$ по определению (открытое множество, содержащее $k$), может быть представлена как объеденение множеств из $B_k$ по определению базы точки (любая окрестность точки может быть представлена как объеденение каких-то элементов базы данной точки).
Я не понимаю каким образом ваш контрпример — контрпример, объясните, пожалуйста, поподробнее.

 
 
 
 Re: Прошу проверить решение (Общая топология)
Сообщение06.03.2014, 20:31 
Аватара пользователя
kp9r4d в сообщении #833466 писал(а):
по определению базы точки (любая окрестность точки может быть представлена как объеденение каких-то элементов базы данной точки)
это не есть определение базы в точке

 
 
 
 Re: Прошу проверить решение (Общая топология)
Сообщение06.03.2014, 20:44 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #833493 писал(а):
это не есть определение базы в точке

Действительно...

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group