Объяснение парадокса Клейна

[Lvov]

Helium в сообщении #831768 писал(а):

есть 2 стационарных состояния до прохождения и после. В этих двух стационарных состояниях энергия разная.

Насколько я понимаю речь идет о прохождении потенциального барьера. Энергия электрона $E$ в стационарном потоке везде одна и та же. Различны потенциальные энергии и импульсы. Вспомните, что энергия электрона $E$ с точностью до постоянного коэффициента $\hbar$ совпадает с постоянной частотой осцилляции волновой функции $\omega.$

Helium в сообщении #831528 писал(а):

Ясно что эти задачи отличаются только значением потенциальной энергии камня.

Задачи для потенциального ящика и потенциальной ямы различаются также значением энергии частицы $E.$ Внутри потенциального ящика $E>m,$ внутри потенциальной ямы $E<m.$

[Helium]

Lvov в сообщении #832471 писал(а):

Насколько я понимаю речь идет о прохождении потенциального барьера. Энергия электрона $E$ в стационарном потоке везде одна и та же. Различны потенциальные энергии и импульсы. Вспомните, что энергия электрона $E$ с точностью до постоянного коэффициента $\hbar$ совпадает с постоянной частотой осцилляции волновой функции $\omega.$

Я и говорю что эти задачи разные. Прохождение волны и выход частицы из ямы не одно и тоже. Я привел решения уравнения в двух случаях до и после выхода. А какая энергия и другие параметры можно посмотреть они есть. В момент выхода волновая функция все больше просачивается через стенку и у стенки получается высокий пик потенциальной энергии. Частица грубо говоря приобретая потенциальную энергию пытается перепрыгнуть через стенку. И при высоте стенки $2m{c}^{2}$ уже переходит в другое опять же связанное состояние. Потому что волновая функция (квадрат модуля) нормирована на единицу в пределах области решения.

Lvov в сообщении #832471 писал(а):

Задачи для потенциального ящика и потенциальной ямы различаются также значением энергии частицы $E.$ Внутри потенциального ящика $E>m,$ внутри потенциальной ямы $E<m.$

Это сомнительно. В связанном состоянии всегда $E<m{c}^{2}$ какая разница яма или ящик?

[Lvov]

Helium в сообщении #832483 писал(а):

В связанном состоянии всегда $E<m{c}^{2}$ какая разница яма или ящик?

В яме это так и есть. Внутри ящика потенциальная энергия равна нулю. Значит $E^2=m^2+p^2,$ т.е. $E>m.$

-- 04.03.2014, 17:43 --

Helium в сообщении #832483 писал(а):

волновая функция (квадрат модуля) нормирована на единицу в пределах области решения.

Если частица связана, то Вы правы. Если же частица не связана, например волна проходит сквозь барьер, то обычно производится нормировка на одну частицу в единице объема. А в общем можно рассматривать и ненормированную волну.
Еще замечу, что в отличие от уравнения Шредингера, квадрат модуля непригоден для нормировки в случае УКГ. Здесь несколько иное выражение для нормировки, а именно $\frac 1 m\frac {\partial \psi^*} {\partial t}\psi.$

[Helium]

Lvov в сообщении #832648 писал(а):

В яме это так и есть. Внутри ящика потенциальная энергия равна нулю. Значит $E^2=m^2+p^2,$ т.е. $E>m.$

Если специально возбуждать частицу дополнительной энергией то да все верно. Но если не возбуждать и оставить на дне ящика то возникает отрицательная энергия связи.

Lvov в сообщении #832648 писал(а):

Еще замечу, что в отличие от уравнения Шредингера, квадрат модуля непригоден для нормировки в случае УКГ. Здесь несколько иное выражение для нормировки, а именно $\frac 1 m\frac {\partial \psi^*} {\partial t}\psi.$

Я для нормировки в случае УКГ использую квадрат модуля и никаких проблем с этим не возникает. А в приведенном выражении есть время думаю для стационарного уравнения нужно переделать ?

[Lvov]

Helium в сообщении #832742 писал(а):

Если специально возбуждать частицу дополнительной энергией то да все верно. Но если не возбуждать и оставить на дне ящика то возникает отрицательная энергия связи.

Связанная частица не бывает в невозбужденном состоянии. Обязательно есть нижнее возбужденное состояние, когда в ящике укладывается половина длины волны.

Helium в сообщении #832742 писал(а):

Я для нормировки в случае УКГ использую квадрат модуля и никаких проблем с этим не возникает. А в приведенном выражении есть время думаю для стационарного уравнения нужно переделать ?

Совершенно верно, в случае стационарного состояния формулу можно записать так $\frac E m \psi^*\psi.$

[Helium]

Lvov в сообщении #832885 писал(а):

Связанная частица не бывает в невозбужденном состоянии. Обязательно есть нижнее возбужденное состояние, когда в ящике укладывается половина длины волны.

Да но смотря откуда она берет энергию для возбуждения. Если энергия для возбуждения поступает извне то тогда $E>m{c}^{2}$ .А если энергия для возбуждения берется от самой частицы т.е. от энергии покоя то тогда $E<m{c}^{2}$.
Я в основном рассматриваю второй случай. Но и привел пример для первого случая тоже. сообщении #829952

Lvov в сообщении #832885 писал(а):

Совершенно верно, в случае стационарного состояния формулу можно записать так $\frac E m \psi^*\psi.$

То есть надо принимать $\int_{v}^{}\frac E m \psi^*\psi{d}{v}=1$ ?

[Lvov]

Возщвращаясь к рассмотренному вопросу о коэффициенте пропхождения волны уравнения Клейна-Гордона через высокий потенциальный барьер (post830271.html#p830271), заметим, что ввиду идентичности равенств $P_1(1-R)=P_2T\,\text{и}\,P_1(1-R)^2=P_2T^2$ закон сохранения первой производной волновой функции на границе барьера совпадает с законом сохранения суммы плотностей токов падающей, отраженной и проходящей волн. Здесь же укажем формально простой вариант формулы для коэффициента прохождения волны для УКГ

$$T=\frac {2P_1} {P_1+P_2}.$$

В вышеназванном сообщении была приведена зависимость коэффициента пропускания амплитуды волны от уровня заграждающего потенциала. Поскольку более интересна зависимость от указанной величины коэффициента пропускания частицы $t$, ниже приводится соответствующая таблица.

$$\begin{tabular}{|c|cccccccccc|} \hline \text {Показатель} &&&&\text{Значения}&&&&&&\\ \hline $u$&2,005$&$2,006$&$2,007$&$2,008$&$2,009$&$2,010$&$2,011$&$2,012$&$2,013$&$2,014$\\ \hline $t$&$0,000$&$0,854$&$0.949$&$0,984$&$0,997$&$1,000$&$0,998$&$0,993$&$0,986$&$09783$\\ \hline \end{tabular}$$

Ниже указан файл графических зависимостей от относительного заграждающего потенциала $u$ коэффициентов пропускания волны $T$ и потока частиц $t$ при высоком заграждающем брьере. http://rghost.ru/52830598/image.png

[Lvov]

Helium в сообщении #832903 писал(а):

Да но смотря откуда она берет энергию для возбуждения.

Этот вопрос в КМ не рассматривается. Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга $\Delta x\, \Delta p\ge\hbar/2$. Поэтому при размере ящика $\Delta x$ импульс частицы не может быть менее $2\Delta x/\hbar$

Helium в сообщении #832903 писал(а):

То есть надо принимать $\int_{v}^{}\frac E m \psi^*\psi{d}{v}=1$ ?

Так, но Вы забыли перед интегралом квадрат нормирующего множителя.

[Lvov]

Lvov в сообщении #832989 писал(а):

Поэтому при размере ящика $\Delta x$ импульс частицы не может быть менее $2\Delta x/\hbar$

Извините описался, надо было сказать так:
Поэтому при размере ящика $\Delta x$ импульс частицы не может быть менее $\hbar/(2\Delta x)$

[Helium]

Lvov в сообщении #832989 писал(а):

Helium в сообщении #832903
писал(а):
То есть надо принимать $\int_{v}^{}\frac E m \psi^*\psi{d}{v}=1$ ?
Так, но Вы забыли перед интегралом квадрат нормирующего множителя.

Может быть $k\int_{v}^{}\frac E {mc^2} \psi^*\psi{d}{v}=1$ ? Так правильно?

Lvov в сообщении #832989 писал(а):

Helium в сообщении #832903
писал(а):
Да но смотря откуда она берет энергию для возбуждения.

Этот вопрос в КМ не рассматривается. Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга $\Delta x\, \Delta p\ge\hbar/2$. Поэтому при размере ящика $\Delta x$ импульс частицы не может быть менее $2\Delta x/\hbar$

Как не рассматривается? Атом водорода в основном состоянии как раз тот случай из за энергии связи $E<m{c}^{2}$ на величину 13.6 эВ..

[Lvov]

Helium в сообщении #833051 писал(а):

Может быть $k\int_{v}^{}\frac E {mc^2} \psi^*\psi{d}{v}=1$ ? Так правильно?

Нет, нормируется волновая функция $\psi$, а не квадрат ее модуля. Поэтому нормирующий множитель должен быть в квадрате.

Helium в сообщении #833051 писал(а):

Как не рассматривается? Атом водорода в основном состоянии...

Атом это своеобразная модель потенциальной ямы, а не потенциального ящика. Ядро захватывает электрон, энергия выделяется в виде фотона.
Что касается потенциального ящика, то чтобы заключить в него электрон надо затратить внешнюю энергию. Однако я не видел рассмотрения этого вопроса в книгах по КМ.

[Helium]

Lvov в сообщении #833099 писал(а):

Что касается потенциального ящика, то чтобы заключить в него электрон надо затратить внешнюю энергию. Однако я не видел рассмотрения этого вопроса в книгах по КМ.

Но это не так об этом уже говорилось в другой теме

Helium в сообщении #759497 писал(а):

Lvov в сообщении #759492 писал(а):

Helium в сообщении #759457 писал(а):

Когда в уравнении пишем глубина ямы скажем -10 а.е. то имеется ввиду что частица запускается в яму с начальной потенциальной энергией равной 0 а.е. и достигнув дна будет иметь соответственно высокую кинетическую энергию.

Г.Helium, похоже, у нас с Вами расхождения в части граничных условий задачи. Я говорю о потенциальном "ящике", на дне которого потенциальная энергия частицы равна нулю, а за его пределами - энергии запирания $U$. Вы же говорите о потенциальной "яме", где потенциальная энергия частицы равна нулю за пределами ямы, в то время, как внутри ямы, она отрицательна. Не приведет ли такое различие в граничных условиях к принципиально разным решениям при больших значениях заграждающего потенциала.
С уважением О.Львов

Я объяснил как в зависимости от нормировки потенциальной энергии одна задача превращается в другую. Можем граничные условия делать по вашему. Опять тот же пример потенциальная яма с глубиной 0 а.е. и высотой стенок 10а.е. радиус 5 а.е. Как видите решение не изменилось частица в нижнем основном состоянии. Я могу поднять стенки сколько угодно все равно решение не изменится.

задача для ямы и ящика отличаются только значением потенциальной энергии. Не нужна внешняя энергия для состояния нулевых колебаний.

[Lvov]

Helium в сообщении #833119 писал(а):

Не нужна внешняя энергия для состояния нулевых колебаний.

Все таки энергия нужна, чтобы загнать электрон в пустой потенциальный ящик, тем большая, чем уже ящик.

-- 06.03.2014, 17:17 --

В случае уравнения Дирака спинорная волновая функция электрона, перемещающегося вдоль оси $z$, в одномерном случае имеет две ненулевые компоненты $\psi^1$ и $\psi^3.$ При этом имеем следующие выражения для пространственной части компонент падающей, отраженной и проходящей волн:

$$\psi_0^1 = \exp(- i P_1 z);\, \psi_r^1 = R \exp( i P_1 z);\, \psi_t^1 = T \exp(- i P_2 z).$$

$$\psi_0^3 =\frac {-P_1} {E+m} \exp(- i P_1 z);\, \psi_r^3 = R \frac {P_1} {E+m} \exp( i P_1 z);\, \psi_t^3 = T \frac {-P_2} {E-U+m} \exp(- i P_2 z).$$

Формулы, связывающие энергию и импульс вне и внутри загражденной области имеют тот же вид, что и в случае уравнения Клейна-Гордона

$$E^2 - P_1^2 = m^2,\,\,\,(1a)$$

$$(E-U)^2 - P_2^2 = m^2.\,\,\,(1b)$$

Уравнение, связывающее амплитуды компоненты $\psi^1$ падающей, отраженной и проходящей волны, имеет прежний вид

$$1+R=T.\,\,\, (2a)$$

. Уравнение, связывающее амплитуды компоненты $\psi^3$ падающей, отраженной и проходящей волны, имеет несколько иной вид

$$\frac {p_1} {\varepsilon+1} (1-R)=T\frac {p_2} {\varepsilon-u+1}.\,\,\, (2b)$$

. Последние уравнения отвечают уравнению непрерывности тока (

$$J^z=e\bar{\psi} \gamma^z\psi = 2e(\psi^{*1} \psi^3)$$

на границе двух областей.
Здесь $p_1,\,p_2,\,\varepsilon,\,\text{и}\,u[math]$$ - отнесенные к величине $m$ значения импульсов (внутри и вне ящика), энергии электрона и энергетического уровня заграждающего потенциала.
Решая совместно уравнения (1) и (2), получаем следующее значение для коэффициента пропускания волновой функции $T$ и коэффициента пропускания электронного тока $t$:

$$T=\frac 2 {1+\frac {p_2(\varepsilon+1)} {p_1(\varepsilon-u+1)} },$$

$$t=\frac {J_t}{J_0}=T^2 \frac {p_2(\varepsilon+1)} {p_1 (\varepsilon-u+1)}. $ Анализ формул для коэффициентов $T$ и $t$ показывает, что, как и в случае волновой функции Клейна-Гордона, пропускание потока электронов при высоком заграждающем потенциале происходит при уровне этого потенциала $U>E+m.$
На нижеследующем графике приведены значения коэффициента пропускания волны $T$ и потока электронов $t$ для относительного импульса электрона $p_1=0,1$ и разных значений заграждающего энергетического потенциала $u$:


Заметим, что в отличие от УКГ, здесь коэффициенты пропускания волны и потока электронов при большом заграждающем потенциале относительно невелики и непрерывно возрастают с увеличением потенциала $U,$ стремясь к значениям $$T=\frac {2p_1} {\varepsilon+p_1+1}\,\, \text {и}\,\, t=\frac {4p_1 (\varepsilon+1)} {(\varepsilon+p_1+1)^2}.$

[Helium]

Lvov в сообщении #833446 писал(а):

Helium в сообщении #833119
писал(а):
Не нужна внешняя энергия для состояния нулевых колебаний.
Все таки энергия нужна, чтобы загнать электрон в пустой потенциальный ящик, тем большая, чем уже ящик.

Я и сам выразил сомнения дважды о возможности нахождения на дне ямы или ящика частицы с небольшой кинетической энергией.

Helium в сообщении #831768 писал(а):

На практике я не представляю как частица может оказаться на дне ямы вначале. Чисто математически может. Как мы и делаем отнимая потенциальную энергию.

Helium в сообщении #759345 писал(а):

В указанных условиях нету частицы с малой энергией.

Если случай когда частица находится на дне вначале в спокойном состоянии на практике невозможен то может быть не стоит рассматривать этот вариант задачи?

Может быть нужно рассматривать второй более реальный случай то есть не положить на дно частицу искусственным путем а оставить как есть.
Но тогда мы не получим парадокс Клейна.