В данном сообщении делается попытка объяснения парадокса Клейна, т.е.странного поведения волновой функции (ВФ) релятивистской частицы, описываемой волновым уравнением Клейна-Гордона (УКГ) и уравнением Дирака, при больших значениях заграждающего электрического потенциала.
Цитата:
Википедия:
"Парадокс Клейна возникает при рассмотрении задачи о туннелировании релятивистской частицы через высокий потенциальный барьер. При решении уравнения Дирака вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, высота которого больше, чем удвоенная энергия покоя частицы, стремится к единице, независимо от высоты барьера.
Общепринятое объяснение парадокса лежит в плоскости квантовой теории поля. Так, уравнение Дирака описывает не движение отдельной частицы, а эволюцию во времени квантового поля, в котором будут присутствовать и античастицы. Поэтому при наличии сильных полей будет происходить рождение пар и вновь родившиеся частицы могут возникать и за барьером".
Пример проявления парадокса Клейна приводится в англоязычной Википедии (статья "Klein paradox"), где показывается, что дираковский электрон с умеренной кинетической энергией с вероятностью 1 может проходить через очень высокий заграждающий барьер.
Проявление парадокса Клейна уже отмечалось в темах автора "Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика" и "Квантовые осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака". В первой теме в сообщении
post741877.html#p741877приводился пример решения УКГ с полноым прохождением электронной волны через высокий потенциальный барьер
Во второй теме показывалось, что в линейном квантовом осцилляторе с увеличением координаты и вместе с ней и запирающего потенциала, после значительного экспоненциального спада волновой функции наблюдается ее колебательный участок с нарастающей пространственной частотой. Отмечалось, что такой характер изменения ВФ характерен как для решения УКГ, так и для решения уравнения Дирака (см. авторскую статью
http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog ... 13022.html, рис. 2).
Для понимания сущности явления вспомним выражения для вектора плотности тока-заряда и истоков тензора энергии-импульса частицы, ВФ которой отвечает УКГ:
Из выражения (2) следует формула для изменения вектора плотности импульса частицы в одномерном случае (пространственная координата
)
Получаем на первый взгляд известную формулу. Однако следует учесть, что в нашем случае плотность тока зависит как от плотности вероятности частицы, так и от электрического потенциала
, т.е. от ее потенциальной энергии. В случае стационарного поля формула (1) имеет вид
т.е. плотность заряда пропорциональна разности полной энергии и потенциальной энергии частицы. С ростом заграждающего потенциала плотность заряда частицы уменьшается и при
изменяет знак на противоположный. Т.е. электронное поле в области высокого отрицательного потенциала обладает положительным зарядом, и ускоряется с ростом заграждающего потенциала, что проявляется в квантовом осцилляторе в форме появления пульсации ВФ с возрастающей пространственной частотой.
В случае уравнения Дирака известна формула для плотности заряда c постоянным его знаком
, и казалось бы вышеприведенное объяснение парадокса Клейна здесь не применимо. Однако вспомним, что в случае дираковского электрона плотность заряда-тока представляет сумму двух составляющих - переноса зарядов и спиновую, связанную с пространственной неоднородностью модуля ВФ. Соответствующая формула, уже приводимая автором в другой теме (сообщение
post820405.html#p820405), имеет вид
В том же сообщении приводилась формула для истоков тензора энергии-импульса, отвечающая уточненному автором лагранжиану уравнения Дирака
где
- тензор спинового магнитоэлектрического момента электрона.
Отмечалось, что первый член в последнем выражении характеризует изменение энергии-импульса электрона при взаимодействии его заряда с электромагнитным полем, а второй член описывает взаимодействие спинового момента электрона с неоднородным магнитным полем, наблюдаемое в опыте Штерна-Герлаха.
При отсутствии магнитного поля основной вклад в движение электрона вносит первый член в выражении (4), вид которого соответствует виду вектора истоков энергии-импульса (2) для УКГ. Этот член также включает две составляющих плотности заряда, отвечающих энергии-импульсу электрона и его потенциальной энергии, как это имело место в выражении (1) для случая УКГ. При этом последняя составляющая основной части вектора заряда при запирающем электрическом потенциале также ослабляет и может изменять знак плотности заряда электронного поля. Ввиду вышеуказанного значительное возрастание запирающего потенциала дираковского электрона, как и в случае частицы, описываемой УКГ, приводит к обратному знаку изменения импульса электрона при постоянном знаке напряженности электрического поля.
Считается, что парадокс Клейна связан с рождением позитронов, компенсирующих электронную составляющую ВФ. Автор же, предполагая, что ВФ электрона отражает реальное вакуумное поле, считает такое положение малоубедительным. Видимо электронная волновая функция при распространении в область высокого заграждающего потенциала приобретает свойство носителя положительного заряда, определяющего аномальное взаимодействие электронного поля с электрическим. Нормированная ВФ стационарного электрона представляет единую частицу с отрицательным зарядом, и позитрон не может быть обнаружен в области положительных значений плотности заряда, поскольку это нарушало бы закон сохранения заряда.
С уважением О.Львов