Положение осей движущейся системы координат

[Acapello]

Начало координат системы K' движется со скоростью $V = (V_x, V_y)$ относительно системы $K$, а оси координат составляют со скоростью $V$ те же углы, что и оси системы $K$. Записать матрицу преобразования Лоренца от $K$ к $K'$(и обратно). Определить положение осей $(x', y')$ в системе K в момент времени $t=0$ по часам K.

Матрицу преобразования я записал, а с положениями осей не до конца понимаю. Пытался воспользоваться тем, что оси $K $и $K'$ составляют одинаковые углы со скоростью и преобразовывал вектор скорости, но, ожидаемо, единственное чем он отличатся это длиной.
Мой вариант, записать базисные вектора в $K': (ct', 1, 0, 0)$ и $(ct', 0, 1, 0)$, $t'$ определить из того, что в $K: t = 0$, преобразовать эти вектора из $K'$ в $K$ и посмотреть, какие углы они будут составлять с базисными векторами $K (0,1,0,0)$ и $(0,0,1,0)$.
Однако из-за громоздкости полученного ответа, я не уверен в правильности.

[Munin]

Acapello в сообщении #832195 писал(а):

Мой вариант, записать базисные вектора в $K': (ct', 1, 0, 0)$ и $(ct', 0, 1, 0)$, $t'$ определить из того, что в $K: t = 0$

Правильно, только надо не полагаться на то, что $t'$ будет для обоих этих векторов одинаковый. То есть, взять $(ct_x', 1, 0, 0)$ и $(ct_y', 0, 1, 0).$

Acapello в сообщении #832195 писал(а):

Однако из-за громоздкости полученного ответа, я не уверен в правильности.

Выражения там действительно громоздкие получаются. Один из способов проверки: если взять скорость в обратную сторону (то есть, ту же, только с минусом), то преобразования должны обратиться. Но у вас не преобразования, а углы в одной из систем координат, так проверять будет неудобно.

В конце концов, просто покажите, что у вас получилось.

[Acapello]

Munin в сообщении #832221 писал(а):

В конце концов, просто покажите, что у вас получилось.

Напишу тангенс угла для одной оси $x'$:
$\tg\theta = \frac{-\gamma V_x V_y/c^2 + (\gamma - 1)V_x V_y/V^2}{1 - \gamma{V_x}^2/c^2 + (\gamma - 1){V_x}^2/V^2}$

В предельном случае получается всё верно, $x'$ и $y' $совпадают с $x$ и $y$, но уж как-то жутко всё выглядит. Правда, можно упростить, домножив на $c^2$ и на $V^2$, но это не сильно упрощает формулу.

[Munin]

Ну, я имел в виду, с промежуточными выкладками. А то вы заставляете окружающих решать задачу за вас, чтобы сравнить ответ.

[guryev]

Acapello в сообщении #832316 писал(а):

Напишу тангенс угла для одной оси $x'$:
$\tg\theta = \frac{-\gamma V_x V_y/c^2 + (\gamma - 1)V_x V_y/V^2}{1 - \gamma{V_x}^2/c^2 + (\gamma - 1){V_x}^2/V^2}$

В предельном случае получается всё верно, $x'$ и $y' $совпадают с $x$ и $y$, но уж как-то жутко всё выглядит. Правда, можно упростить, домножив на $c^2$ и на $V^2$, но это не сильно упрощает формулу.

Если домножить на $V^2$, то с учётом $\gamma\frac{V^2}{c^2}=\gamma-\frac{1}{\gamma}$ и $V^2={V_x}^2+{V_y}^2$, можно получить

$$\tg\theta=-\frac{(\gamma-1)V_xV_y}{{V_x}^2+\gamma{V_y}^2}$$

У меня получилось то же самое, только, боюсь, это всё равно неверно, так как при $V_x=V_y$ получается не то, что, казалось бы, должно быть...

[guryev]

guryev в сообщении #832641 писал(а):

$$\tg\theta=-\frac{(\gamma-1)V_xV_y}{{V_x}^2+\gamma{V_y}^2}$$

У меня получилось то же самое, только, боюсь, это всё равно неверно, так как при $V_x=V_y$ получается не то, что, казалось бы, должно быть...

При повторной проверке выяснилось, что всё сходится. Так что, скорее всего, ответ правильный у нас обоих.