Способ создания новых теорий гравитации

[SergeyGubanov]

Описал способ как можно создавать новые теории гравитации. Думаю кому-то будет интересно о нём узнать...


ОТО
Если считать все десять компонент метрического тензора $g_{\mu \nu}$ независимыми, то из действия Гильберта выводятся десять уравнений ОТО:

$$ \delta S = \frac{1}{2 c} \int \left( T_{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu} \right) \delta g^{\mu \nu} \sqrt{-g} \, d_4 x, $$

$$ T_{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu} = 0. $$

Как создать новую теорию гравитации
ОТО описывает произвольные псевдоримановы пространства событий, в том числе содержащие хронопетли нарушающие принцип причинности. Как быть если мы хотим создать теорию гравитации в которой, например, априорно запрещены пространства событий с хронопетлями? Этого можно добиться если до варьирования действия Гильберта наложить (априорные) ограничения на компоненты метрического тензора. Для этого положим, что метрический тензор $g_{\mu \nu}$ зависит от набора каких-то полей $\varphi_n$ и, возможно, их производных $\partial_{\mu}\varphi_n$. Тогда количество независимых компонент метрического тензора может быть ограничено количеством полей $\varphi_n$. Вариация метрического тензора:

$$ \delta g_{\mu \nu} = \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \varphi_n} \delta \varphi_n + \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \left( \partial_{\lambda}\varphi_n \right) } \delta \left( \partial_{\lambda}\varphi_n \right), $$

система уравнений новой теории гравитации:

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \varphi_n} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\lambda} \left( \sqrt{-g} \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \left( \partial_{\lambda}\varphi_n \right) } \right) $$

Пример 1. Тетрадная теория гравитации
Метрический тензор зависит от тетрады:

$$ g_{\mu \nu} = \eta_{a b} \, e^{(a)}_{\mu} e^{(b)}_{\nu}. $$

Система из шестнадцати уравнений:

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial e^{(a)}_{\lambda}} = 0. $$

В силу произвольности выбора системы отсчёта

$$ e'^{(a)}_{\mu} = \Lambda^{a}_{b} e^{(b)}_{\mu}, \quad \eta_{a b} \Lambda^{a}_{c} \Lambda^{b}_{d} = \eta_{c d}, $$

из шестнадцати полей $e^{(a)}_{\mu}$ независимы только десять. Тетрадная теория гравитации эквивалентна ОТО.


Пример 2. Теория глобального времени
В теории глобального времени Бурланкова метрический тензор зависит от девяти полей: трёх полей $V^i$ и шести полей $\gamma_{i j}$ так что

$$ ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right) $$

Система из девяти уравнений гравитационного поля:

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial V^i} = 0, $$

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \gamma_{i j}} = 0. $$

Теория не является общековариантной поскольку используется выделенная координата $t$. В следующем примере даётся общековариантное обобщение этой теории.


Пример 3. Теория голономного времени
Отталкиваемся от тетрадной теории гравитации:

$$ g_{\mu \nu} = \eta_{a b} \, e^{(a)}_{\mu} e^{(b)}_{\nu} = e^{(0)}_{\mu} e^{(0)}_{\nu} - e^{(1)}_{\mu} e^{(1)}_{\nu} - e^{(2)}_{\mu} e^{(2)}_{\nu} - e^{(3)}_{\mu} e^{(3)}_{\nu}. $$

В теории голономного времени априорно существует система отсчёта с голономной дифференциальной формой $e^{(0)} = e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu}$, такой что

$$ e^{(0)}_{\mu} = \frac{\partial \tau}{ \partial x^{\mu}}. $$

Метрический тензор $g_{\mu \nu}$ зависит от тринадцати полей: одного поля $\tau$ и двенадцати полей $e^{(i)}_{\mu}$:

$$ g_{\mu \nu} = \partial_{\mu} \tau \partial_{\nu} \tau - e^{(1)}_{\mu} e^{(1)}_{\nu} - e^{(2)}_{\mu} e^{(2)}_{\nu} - e^{(3)}_{\mu} e^{(3)}_{\nu} = \partial_{\mu} \tau \partial_{\nu} \tau - \delta_{i j} e^{(i)}_{\mu} e^{(j)}_{\nu}. $$

Такое представление метрического тензора не зависит от системы координат, то есть теория голономного времени общековариантна. Тринадцать уравнений теории голономного времени получаются варьированием действия Гильберта по полям $e^{(i)}_{\mu}$ и по полю $\tau$:

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) e^{(i)}_{\nu} = 0, $$

$$ \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\mu} \left( \sqrt{-g} \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \partial_{\nu} \tau \right) = 0. $$

Двенадцать полей $e^{(i)}_{\mu}$ определены с точностью до произвольного трёхмерного поворота

$$ e'^{(i)}_{\mu} = L^{i}_{j} e'^{(j)}_{\mu}, \quad \delta_{i j} L^{i}_{k} L^{j}_{l} = \delta_{k l}, $$

поэтому независимых из них только девять. Тринадцатое (а если считать по независимым, то десятое) уравнение есть сохранение плотности энергии-импульса:

$$ P^{\mu} = \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \partial_{\nu} \tau, \quad \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\mu} \left( \sqrt{-g} P^{\mu} \right) = 0. $$

Пример 4.
Кто предложит свой вариант?

[Утундрий]

По-моему лучше сказать "метрический тензор как-то выражается через какие-то поля". Число степеней свободы в таком случае не обязано совпадать с таковым в ситуации, когда мы имеем одну только метрику и теоретически это может привести к чему-то ну совсем уж эдакому

Осталось объяснить, почему метрический тензор (на самом деле достаточно, если его вариация) через какие-то поля выражается и почему именно каким-то образом.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #831381 писал(а):

ОТО описывает произвольные псевдоримановы пространства событий, в том числе содержащие хронопетли нарушающие принцип причинности. Как быть если мы хотим создать теорию гравитации в которой, например, априорно запрещены пространства событий с хронопетлями?

Браво! Не все понятно, но очень интересно.
Сам Гильберт наложил определенные неравенства на метрические компоненты в статье в 24-ом, чтобы не было нарушения причинности. Они действительно ниоткуда не следуют.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #831440 писал(а):

По-моему лучше сказать "метрический тензор как-то выражается через какие-то поля".

Да, так более точно передаётся смысл.

Утундрий в сообщении #831440 писал(а):

Осталось объяснить, почему метрический тензор (на самом деле достаточно, если его вариация) через какие-то поля выражается и почему именно каким-то образом.

Это только из экспериментов и наблюдений...

Кстати, на счёт экспериментов. Понятно что решения системы

$$ T_{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu} = 0 \eqno{(1)} $$

одновременно являются и решениями системы

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \varphi_n} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\lambda} \left( \sqrt{-g} \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \left( \partial_{\lambda}\varphi_n \right) } \right) \eqno{(2)} $$

Ибо подставляем решение системы (1) в систему (2) и получаем тождество $0 = 0$. То есть все теории гравитации созданные описанным способом автоматически наследуют все экспериментальные проверки ОТО.

Вот теперь надо в экспериментах и наблюдениях искать нечто такое, что соответствует решениям системы (2), но не соответствует решениям системы (1).

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #831555 писал(а):

Это только из экспериментов и наблюдений...

Отнюдь. Это следствия надо будет сверять с экспериментами и наблюдениями. А обоснование введения такого представления метрики извольте выдумать чисто спекулятивно. Сие как бы в традиции

[EvilPhysicist]

SergeyGubanov в сообщении #831381 писал(а):

Описал способ как можно создавать новые теории гравитации. Думаю кому-то будет интересно о нём узнать...

Врят ли это будет кому-то интересно, если вы не приведете ссылок на что бы то ни было научное.

SergeyGubanov в сообщении #831381 писал(а):

ОТО описывает произвольные псевдоримановы пространства событий, в том числе содержащие хронопетли нарушающие принцип причинности.

Вот с этого места по подробнее. Какие именно решения ОТо содержат хронопетлизамкнутые времениподобные кривые?

SergeyGubanov в сообщении #831381 писал(а):

Метрический тензор зависит от тетрады:

Это просто бред. Главным образом потому что тетрадный формализм это когда мы записываем все уравнения не в голономном базисе.

SergeyGubanov в сообщении #831381 писал(а):

Тетрадная теория гравитации эквивалентна ОТО.

Што вы говорите? Вы просто доказали, что если взять уравнения ОТО не в голономном базисе, то это все еще будут уравнения ОТО.

SergeyGubanov в сообщении #831381 писал(а):

Пример 3. Теория голономного времени

То что вы сделали в данном пункте называется 3+1 разбиение. ОТО это не меняет и новой теорией гравитации не является.

Может быть вы сначала учебники почитали перед тем как предлагать всем свои откровения вселенского масштаба?

[Утундрий]

EvilPhysicist в сообщении #831958 писал(а):

Какие именно решения ОТо содержат хронопетлизамкнутые времениподобные кривые?

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 0%BB%D1%8F например.

(Оффтоп)

И сбавьте градус. Воинственность вашего тона пока что не оправдывается уровнем сделанных замечаний.

[EvilPhysicist]

Утундрий в сообщении #831982 писал(а):

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 0%BB%D1%8F например.

Википедия писал(а):

Как космологическое решение метрика Гёделя выглядит несколько искусственно

не относящееся к реальности решение врят ли может служить адекватной критикой для теории.

Утундрий в сообщении #831982 писал(а):

И сбавьте градус. Воинственность вашего тона пока что не оправдывается уровнем сделанных замечаний.

Для критики откровений от дилетанта не нужно делать замечания уровня, кажем, Зельдовича.

[Утундрий]

EvilPhysicist в сообщении #831993 писал(а):

не нужно делать замечания уровня, кажем, Зельдовича.

А достаточно поднять ногу и наследить Вы это делаете, только непонятно зачем. Ваши замечания тоже не являются откровением для всех, умеющих пользоваться гуглем, но при этом высказаны в предельно агрессивной форме и ничего кроме склоки не провоцируют. Вы тролль, EvilPhysicist?

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #831557 писал(а):

А обоснование введения такого представления метрики извольте выдумать чисто спекулятивно. Сие как бы в традиции

В книге Бим, Эрлих: "Глобальная лоренцева геометрия" авторы вводят восемь уровней (классов) условий причинности пространства событий: хронологическое, причинное, различающее, сильно причинное, устойчиво причинное, причинно непрерывное, причинно простое, глобально гиперболическое. Сейчас не важно что что конкретно под каждым из этих классов имеется ввиду, важно само их существование. Когда мы до варьирования действия Гильберта налагаем на компоненты метрического тензора связи, мы, тем самым, можем преследовать цель получить пространство событий определённого класса причинности. То есть экстремум действия Гильберта искать не абы где, а в определённом классе причинных пространств событий. Короче, поиск экстремума при выполнении определённых условий связи.


Система отсчёта с голономной дифференциальной формой $e^{(0)} = e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu}$, $e^{(0)}_{\mu} = \partial_{\mu} \tau$ является свободно падающей. Из нормировки монады $g^{\mu \nu} e^{(0)}_{\mu} e^{(0)}_{\nu} = 1$ вытекает $g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\tau \partial_{\nu}\tau = 1$ Это уравнение Гамильтона-Якоби, смысл функции $\tau$ - собственное время свободно падающих пробных частиц с которыми связана эта система отсчёта. Гиперповерхности постоянного времени в этой системе отсчёта есть $\tau = \operatorname{const}$.



Так вот, по традиции выдуманное чисто спекулятивно обоснование выражения для метрического тензора в теории голономного времени $ g_{\mu \nu} = \partial_{\mu} \tau \partial_{\nu} \tau - \delta_{i j} e^{(i)}_{\mu} e^{(j)}_{\nu} $ заключается в априорном (ещё до варьирования действия) требовании того, что функция времени $\tau$ должна существовать. И не где-то там локально, а в конечной области (или даже глобально) - в той области в которой варьируется функционал действия. Ведь в той области где функция времени $\tau$ существует пространство событий можно аккуратненко нарезать на слои $\tau = \operatorname{const}$, значит хронопетель точно нет. Не знаю как этот класс условия причинности у математиков называется (глобально гиперболическое?), чтоб как-то его далее называть, назовём его $\tau$-классом. Ну вот, в теории голономного времени экстремум действия Гильберта ищется в $\tau$-классе пространств событий. Как-то так...

[Утундрий]

Да, вы это уже говорили. Я понял так, что вам не нравятся некоторые из получающихся стандартным образом решений и вы хотите их не допустить вообще, задавая метрику в каком-то специальном, более узком виде. По аналогичному пути, кстати, пошёл и Логунов. Мой же вопрос следующий: есть какие-то другие причины рассмотренного сужения, окромя "мне так захотелось"? Если нет, то вся ваша деятельность представляет собой не более чем "поиск решений специального вида". Никакой модификации самой теории не производится, просто отсеиваются некоторые решения.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #832125 писал(а):

Никакой модификации самой теории не производится, просто отсеиваются некоторые решения.

Отсеиваются пространства событий не принадлежащие к обозначенному выше $\tau$-классу условий причинности, в этом смысле идёт сужение теории, уменьшение количества решений. И, если бы ничего сверх этого не делалось, то это была бы старая добрая ОТО суженная на $\tau$-класс и, да, как вы пишите, это было бы просто поиском решений специального вида. Однако выполняется процедура чуток более хитрая чем простое механическое сужение ОТО на $\tau$-класс. Ещё раз обращаю ваше внимание на то, что сужение до $\tau$-класса делается до варьирования действия. Ищется экстремум действия Гильберта уже на $\tau$-классе. Ключевые слова: ищется экстремум при выполнении условия. Получающиеся уравнения Эйлера-Лагранжа не ОТО-вские, другие. Это другая теория.

Сравните, вот ОТО:

$$ T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} = 0, \eqno(1) $$

вот это тоже ОТО, но только записанная по-другому:

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) e^{(0)}_{\nu} = 0, \eqno(1.0) $$

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) e^{(1)}_{\nu} = 0, \eqno(1.1) $$

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) e^{(2)}_{\nu} = 0, \eqno(1.2) $$

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) e^{(3)}_{\nu} = 0, \eqno(1.3) $$

а вот это уже не ОТО:

$$ \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\mu} \left( \sqrt{-g} \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \partial_{\nu} \tau \right) = 0, \eqno(2.0) $$

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) e^{(1)}_{\nu} = 0, \eqno(2.1) $$

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) e^{(2)}_{\nu} = 0, \eqno(2.2) $$

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) e^{(3)}_{\nu} = 0. \eqno(2.3) $$

В $\tau$-классе всякое решение системы (1) одновременно является решением системы (2) - решения ОТО наследуются. Но не наоборот. У системы (2) есть решения не являющиеся решениями системы (1), то есть не принадлежащие ОТО.

По сравнению с ОТО количество решений с одной стороны уменьшается за счёт ограничения на $\tau$-класс причинности, а с другой стороны количество решений увеличивается за счёт того что система уравнений (2) имеет больше решений чем просто система (1) механически суженная на $\tau$-класс. Далее привожу парочку примеров решений системы (2) не являющихся решениями системы (1).

Белая и чёрная дыра Пэнлеве в расширяющемся мире Эйнштейна - де Ситтера:

$$ e^{(0)} = c \, dt, $$

$$ e^{(1)} = dr - \left(\frac{2 r}{3 t} \pm \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}} \right) dt, \quad M(t) = \frac{\mu}{t^2}, $$

$$ e^{(2)} = r \, d\theta, $$

$$ e^{(3)} = r \sin(\theta) \, d\varphi. $$

Вихревое гравитационное поле (первая мода из бесконечной серии):

$$ e^{(0)} = c \, dt, $$

$$ e^{(1)} = \exp\left( \frac{9 Q^2}{16 c^2 r^4} \sin(\theta)^4 \right) \, dr, $$

$$ e^{(2)} = \exp\left( \frac{9 Q^2}{16 c^2 r^4} \sin(\theta)^4 \right) \, r \, d\theta, $$

$$ e^{(3)} = r \sin(\theta) \, d\varphi - \frac{Q \sin(\theta)}{r^2} dt. $$

[schekn]

Утундрий в сообщении #832125 писал(а):

По аналогичному пути, кстати, пошёл и Логунов.

Ну не совсем так. Он ввел вторую метрику (Минковского) и условия причинности всей теории у него те же, что и для пространства Минковского, то есть все события должны укладываться в конус причинности плоского пространства-времени.

-- 03.03.2014, 14:44 --

SergeyGubanov в сообщении #832107 писал(а):

авторы вводят восемь уровней (классов) условий причинности пространства событий

А Вас только раздражает хронопетли ? Например к сингулярностями в решениях Вы спокойно относитесь?

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #832192 писал(а):

а вот это уже не ОТО

Что-то и порядок у него "не того".

[fizeg]

SergeyGubanov
Возьмите Минковский и посмотрите на флуктуации метрики вокруг него в линейном приближении. Я предсказываю, что у вас в физическом секторе будут лишние моды и с ними будут проблемы.