Плоский тор

[Утундрий]

Всем известен тор в виде бублика, но бывает ли плоским тор?

[gris]

А прямоугольник с соответствующими отождествлениями или даже плоскость с не-могу-формально-сказать-каким-отношением-эквивалентности разве не торообразны?

[Denis Russkih]

Про обычную окружность можно сказать, что это тор с нулевым радиусом образующей окружности. :)

[olenellus]

А в $\mathbb{R}^4$ плоский тор можно вложить безо всяких склеек $(\varphi,\psi)\mapsto(\sin\varphi,\cos\varphi,\sin\psi,\cos\psi)$.

Кстати, в "Диаспоре" это было.
http://gregegan.customer.netspace.net.a ... html#TORUS

[Утундрий]

Вот-вот, оно самое! Причём, метода очевидно обобщается на тор произвольной размерности (объемлющее пр-во размерности $2n$ для $n$-мерного тора) и при этом многообразие получается плоским.

P.S. А можно ли так же раздраконить поективную плоскость?

[Munin]

Утундрий в сообщении #831455 писал(а):

Всем известен тор в виде бублика, но бывает ли плоским тор?

0-мерный.

[olenellus]

Утундрий в сообщении #831476 писал(а):

P.S. А можно ли так же раздраконить поективную плоскость?

Низя. У проективной плоскости $\chi=-1$.

[Утундрий]

Munin в сообщении #831484 писал(а):

0-мерный.

2-мерный
n-мерный

olenellus в сообщении #831487 писал(а):

Низя. У проективной плоскости .

Какая жаль!

[alcoholist]

На любом торе можно ввести метрику-прямое произведение.

Если вопрос касается о торе, вложенном куда-то с метрикой, индуцированной вложением, то

$$ T^{n}\simeq\{z\in\mathbb{C}^n:\,|z|=1\}\quad- $$

тор, с индуцированной плоской метрикой.

-- Пт фев 28, 2014 20:56:04 --

Утундрий в сообщении #831476 писал(а):

P.S. А можно ли так же раздраконить поективную плоскость?

http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

[Утундрий]

Можно ли взять прямое произведение $n$ окружностей в качестве определения тора?

-- Пт фев 28, 2014 22:04:05 --

alcoholist в сообщении #831507 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

Простите, а где в этой ссылке говорится о проективной плоскости? Или "вкладываются все" нужно понимать как "вообще все, безразлично к ориентируемости"?

[g______d]

Утундрий в сообщении #831509 писал(а):

Можно ли взять прямое произведение $n$ окружностей в качестве определения тора?

А что, бывает какое-то другое определение? Ну кроме $\mathbb R^n/\Gamma$, где $\Gamma$ — решетка ранга $n$ (и которое в случае $\Gamma=\mathbb Z^n$ естественно отождествляется с произведением окружностей).

[Munin]

Утундрий
Я же не сказал, что других нельзя.

[Утундрий]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #831510 писал(а):

А что, бывает какое-то другое определение?

А я знаю? От математиков можно ожидать чего угодно...

[g______d]

А плоский он в том смысле, что у любой точки есть окрестность, изоморфная области в $\mathbb R^n$ как риманово многообразие.

[Утундрий]

g______d в сообщении #831517 писал(а):

А плоский он в том смысле, что

...кривизна нулевая.