2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69160
В топологии, например, понятие тора есть, а понятием кривизны не пользуются (по крайней мере, оно есть не всегда).

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5497
Утундрий в сообщении #831518 писал(а):
...кривизна нулевая.


Это следствие. Я бы сразу сказал "кривизна нулевая", но кривизны бывают разные, и все равны нулю, как у куска плоскости.

-- 28.02.2014, 22:21 --

Другими словами, "плоский" означает "в окрестности любой точки неотличим от куска плоскости" (как риманово многообразие). Кажется, я Кэп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Задачки:

1. Диффеоморфны ли поверхности "бублика" в $\mathbb{R}^3 $ и построенная выше 2-поверхность в $\mathbb{R}^4$?

2. Как "выглядит" проекция построенной выше поверхности в $\mathbb{R}^4$ на произвольную 3-плоскость? Т.е. нужно нарисовать проекции тех точек поверхности, касательная плоскость к которым содержит направление проецирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5497
Утундрий в сообщении #831537 писал(а):
1. Диффеоморфны ли поверхности "бублика" в $\mathbb{R}^3 $ и построенная выше 2-поверхность в $\mathbb{R}^4$?


Ну да, можно же параметризовать поверхность бублика двумя углами, вот и диффеоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Да, слишком просто... Тогда - нарисовать весь процесс. Используя решение задачки 2. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69160
g______d в сообщении #831521 писал(а):
Я бы сразу сказал "кривизна нулевая", но кривизны бывают разные, и все равны нулю, как у куска плоскости.

Строго говоря, не все, потому что бывает кривизна ещё внешняя (аналог кривизны линии).

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение01.03.2014, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Munin
Нет, есть такая кривизна в слоях. Здесь явно об этом. Но, как и в случае кривых, нуль первой кривизны влечёт нули всех последующих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение01.03.2014, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5497
Munin в сообщении #831565 писал(а):
Строго говоря, не все, потому что бывает кривизна ещё внешняя (аналог кривизны линии).


Это если он куда-то вложен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение01.03.2014, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
g______d в сообщении #831574 писал(а):
он куда-то вложен.

Так мы токмо энто и рассматриваем. Вроде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение01.03.2014, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5497
Утундрий в сообщении #831575 писал(а):
Так мы токмо энто и рассматриваем. Вроде.


Обычно плоские торы встречаются сами по себе.

Да и вообще, мне не приходит на ум даже где в теоретической физике может встретиться тор, куда-то изначально вложенный. Не вложенный — сколько угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение01.03.2014, 01:08 
Аватара пользователя


25/02/10
687
gris ответил на вопрос (правда для двумерного случая, но это не принципиально): $n$-мерный плоский тор - это $n$-мерный куб у которого отождествлены противоположные грани. Мне непонятно, почему этого недостаточно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение01.03.2014, 07:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2291
СПб
Утундрий в сообщении #831509 писал(а):
Простите, а где в этой ссылке говорится о проективной плоскости? Или "вкладываются все" нужно понимать как "вообще все, безразлично к ориентируемости"?

там же ясно написано:
Цитата:
state that every Riemannian manifold can be isometrically embedded into some Euclidean space.


-- Сб мар 01, 2014 08:21:50 --

g______d в сообщении #831521 писал(а):
Это следствие. Я бы сразу сказал "кривизна нулевая", но кривизны бывают разные

когда специалисты говорят о пространстве кривизны такой-то (не оговаривая дополнительно внешняя она, или Риччи, или еще какая-то) то обычно имеют ввиду либо секционные кривизны (для риманова случая), либо кривизну в смысле Александрова (для александровских пространств)

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение01.03.2014, 08:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69160
g______d в сообщении #831578 писал(а):
Да и вообще, мне не приходит на ум даже где в теоретической физике может встретиться тор, куда-то изначально вложенный. Не вложенный — сколько угодно.

Почему? Как раз вложенный - сколько угодно. Вихри в жидкости, в твёрдом теле... Двойной маятник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение01.03.2014, 08:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2291
СПб
Munin в сообщении #831605 писал(а):
Двойной маятник

это поверхность уровня энергии в фазовом пространстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение01.03.2014, 09:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5497
Да, я погорячился, ещё бывают инвариантные торы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group