2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Всем известен тор в виде бублика, но бывает ли плоским тор? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13479
А прямоугольник с соответствующими отождествлениями или даже плоскость с не-могу-формально-сказать-каким-отношением-эквивалентности разве не торообразны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 19:40 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Про обычную окружность можно сказать, что это тор с нулевым радиусом образующей окружности. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
А в $\mathbb{R}^4$ плоский тор можно вложить безо всяких склеек $(\varphi,\psi)\mapsto(\sin\varphi,\cos\varphi,\sin\psi,\cos\psi)$.

Кстати, в "Диаспоре" это было.
http://gregegan.customer.netspace.net.a ... html#TORUS

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Вот-вот, оно самое! Причём, метода очевидно обобщается на тор произвольной размерности (объемлющее пр-во размерности $2n$ для $n$-мерного тора) и при этом многообразие получается плоским.

P.S. А можно ли так же раздраконить поективную плоскость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68334
Утундрий в сообщении #831455 писал(а):
Всем известен тор в виде бублика, но бывает ли плоским тор?

0-мерный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Утундрий в сообщении #831476 писал(а):
P.S. А можно ли так же раздраконить поективную плоскость?

Низя. У проективной плоскости $\chi=-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Munin в сообщении #831484 писал(а):
0-мерный.

2-мерный
n-мерный
olenellus в сообщении #831487 писал(а):
Низя. У проективной плоскости .

Какая жаль!

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2264
СПб
На любом торе можно ввести метрику-прямое произведение.

Если вопрос касается о торе, вложенном куда-то с метрикой, индуцированной вложением, то
$$
T^{n}\simeq\{z\in\mathbb{C}^n:\,|z|=1\}\quad-
$$
тор, с индуцированной плоской метрикой.

-- Пт фев 28, 2014 20:56:04 --

Утундрий в сообщении #831476 писал(а):
P.S. А можно ли так же раздраконить поективную плоскость?

http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Можно ли взять прямое произведение $n$ окружностей в качестве определения тора?

-- Пт фев 28, 2014 22:04:05 --

alcoholist в сообщении #831507 писал(а):
http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

Простите, а где в этой ссылке говорится о проективной плоскости? Или "вкладываются все" нужно понимать как "вообще все, безразлично к ориентируемости"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5419
Утундрий в сообщении #831509 писал(а):
Можно ли взять прямое произведение $n$ окружностей в качестве определения тора?


А что, бывает какое-то другое определение? Ну кроме $\mathbb R^n/\Gamma$, где $\Gamma$ — решетка ранга $n$ (и которое в случае $\Gamma=\mathbb Z^n$ естественно отождествляется с произведением окружностей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68334
Утундрий
Я же не сказал, что других нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392

(Оффтоп)

g______d в сообщении #831510 писал(а):
А что, бывает какое-то другое определение?

А я знаю? От математиков можно ожидать чего угодно... :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5419
А плоский он в том смысле, что у любой точки есть окрестность, изоморфная области в $\mathbb R^n$ как риманово многообразие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский тор
Сообщение28.02.2014, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
g______d в сообщении #831517 писал(а):
А плоский он в том смысле, что

...кривизна нулевая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group