Задание на теорему о делении с остатком

[Twidobik]

Пожалуйста, подскажите, как правильно доказать утверждение о том, что сумма четных степеней двух нечетных чисел не может быть кубом целого числа.
То есть, необходимо доказать, что уравнение
${(2m + 1)^{2k}} + {(2n + 1)^{2l}} = {a^3}$
не имеет решений в натуральных числах.
Данное уравнение при $m,n,k,l > 1$ имеет вид
$4P + 2 = {a^3}$,
и теперь необходимо доказать, что куб целого числа не дает остаток $2$ при делении на $4$, а также рассмотреть, когда $m,n,k,l = 1$

Пусть $a = 4q + r$, тогда ${a^3} = {\left( {4q + r} \right)^3} = 4Q + {r^3}$. При $r = 0,1,2,3$ получим остатки $0,1,0,1$ соответственно.

Меня смущают $P$ и $Q$, можно ли так заменять и что при этом нужно написать?
Спасибо!

[Sonic86]

Twidobik в сообщении #831458 писал(а):

Данное уравнение при $m,n,k,l > 1$ имеет вид
$4P + 2 = {a^3}$,
и теперь необходимо доказать, что куб целого числа не дает остаток $2$ при делении на $4$, а также рассмотреть, когда $m,n,k,l = 1$

Здесь нет никакой необходимости различать случаи $m,n,k,l>1$ и его отрицание. Просто $(2m+1)^{2k}+(2n+1)^{2l}=4P+2$.

Twidobik в сообщении #831458 писал(а):

Меня смущают $P$ и $Q$, можно ли так заменять и что при этом нужно написать?

Заменять можно. Если хотите, можете явно $Q$ выписать. Но лучше воспользоваться сравнениями:
Если $a\equiv 0;1;2;3 \pmod {4}, $ то $a^3\equiv 0;1;0;3 \pmod {4}$ - в самой формулировке $P,Q$ уже исключены, думать о них не нужно.

[Twidobik]

Sonic86, спасибо большое! Сравнениями проще, но задание в главе "Теорема о делении с остатком", поэтому хотелось решить без сравнений.

[Cash]

Можно рассуждать и так: куб числа четен, значит само число четно. А куб четного числа при делении на 4 ...