Объяснение парадокса Клейна

[Lvov]

Ранее был поставлен вопрос о вычислении коэффициента прохождения волны релятивистского электрона при значении запирающего потенциала $U=2m$. Скажу сразу, что в этом случае коэффициент прохождения волны равен нулю.

В данном же сообщении рассмотрен вопрос о коэффициенте прохождения волны релятивистской частицы с умеренным импульсом через высокий заграждающий барьер при больших значениях энергии частицы и заграждающего потенциала, которые находятся в диапазоне энергий $E,\,U>2m.$
Пусть уравнения пространственных частей падающей, отраженной и проходящей волны имеют вид

$$\psi_0 = \exp(- i P_1 x);\, \psi_r = R \exp( i P_1 x);\, \psi_t = T \exp(- i P_2 x).$$

Формулы, связывающие энергию и импульс вне и внутри загражденной области, полученные ранее в сообщении post741877.html#p741877 имеют вид

$$E^2 - P_1^2 = m^2,\,\,\,(1a)$$

$$(E-U)^2 - P_2^2 = m^2.\,\,\,(1b)$$

Там же приведены соотношения для коэфффициентов отражения и прохождения плоской волны

$$1+R=T;\,\,\, -iP+iPR=-iPT.\,\,\,(2)$$

Решая совместно уравнения (1) и (2), получаем следующее выражение для коэффициента пропускания волны

$$T=\frac {2p_1-2p_1 \sqrt{(\varepsilon-u)^2-1} } {(2\varepsilon - u)u}.$$

Здесь строчными буквами $p,\,\varepsilon,\,u$ обозначены относительные значения импульса, полной и потенциальной энергии частицы (отношение к массе-энергии покоя частицы).
Анализ приведенных уравнений дает значения заграждающего потенциала $u$ для границы полного отражения волны частицы $u_0=\varepsilon+1$ и для коэффициента пропускания $T=1\,\,\,\,\,\,u_1=2\varepsilon.$ В последнем случае пространственная частота проходящей волны не изменяется $p_1=p_2.$
Уровни коэффициентов пропускания и отражения, а также значения отношения пространственных частот $p_2/p_1$ при $p_1=0,1$ (и соответственно, $\varepsilon=1.000499$) для ряда значений заграждающего потенциала $u$ приведены в нижеследующей таблице.

$$\begin{tabular}{|c|cccccccccc|} \hline \text {показатель} & \text{значения}\\ \hline $u$&2,005$&$2,006$&$2,007$&$2,008$&$2,009$&$2,010$&$2,011$&$2,012$&$2,013$&$2,014$\\ \hline $T$&$2,000$&$1,382$&$1,225$&$1,127$&$1,055$&$1,00$&$0,954$&$0,915$&$0,882$&$0,853$\\ \hline $R$&$-1,00$&$-0,38$&$-0,23$&$-0,13$&$-0,06$&$0,00$&$0,048$&$0,085$&$0,116$&$0,147$\\ \hline $p_2/p_1$&$2,1e-7$&$0,447$&$0,633$&$0,775$&$0,895$&$1,00$&$1,097$&$1,185$&$1,267$&$1,345$\\ \hline \end{tabular}$$

Может показаться странным, что на начальном участке изменения запирающего потенциала коэффициент пропускания волны превышает единичный уровень. Однако это нормальное явление, не нарушающее законов сохранения тока-заряда и энергии-импульса. Действительно из формулы (1) в стартовом сообщении следует, что плотность тока релятивистской частицы при постоянной пространственной частоте пропорциональна произведению квадрата модуля волновой функции на ее пространственную частоту. Но пространственная частота в области запирающего потенциала в рассматриваемом случае меньше частоты в области свободной частицы, что способствует уменьшению плотности тока вопреки росту амплитуды волновой функции.
Для примера вычислим значение токов падающей, отраженной и проходящей волны в точке $u=2,007,$ для которой $T=1,22491;\,\, R=-0,22491;\,\, p_2/p_1=0,63277.$ Принимаем ток падающей волны за $1$, тогда ток отраженной волны равен $R^2=0,050584$, а ток проходящей волны $T^2\, p_2/p_1=0,94941.$ Баланс найденных токов отличается от нуля на величину 0,000006, что объясняется погрешностью расчетов, в которых учитывалось 5 знаков после запятой.

[Helium]

Lvov в сообщении #830271 писал(а):

В данном же сообщении рассмотрен вопрос о коэффициенте прохождения волны релятивистской частицы с умеренным импульсом через высокий заграждающий барьер при больших значениях энергии частицы и заграждающего потенциала, которые находятся в диапазоне энергий $E,\,U>2m.$

Разве может быть импульс умеренным а энергия высокой ? Разве энергия не имеет порядок $E=\frac{{p}^{2}}{2m}$ ?
Потом кажется парадокс Клейна относится именно к частицам с небольшой энергией.

Цитата
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E0%F0%E0%E4%EE%EA%F1_%CA%EB%E5%E9%ED%E0
Парадо́кс Кле́йна возникает при рассмотрении задачи о туннелировании релятивистской частицы через высокий потенциальный барьер. При решении уравнения Дирака вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, высота которого больше, чем удвоенная энергия покоя частицы, стремится к единице, независимо от высоты барьера.

Удвоенная энергия покоя а не энергия частицы.

[Lvov]

Helium в сообщении #830330 писал(а):

Разве может быть импульс умеренным а энергия высокой ? Разве энергия не имеет порядок $E=\frac{{p}^{2}}{2m}$ ?

Извиняюсь, зарапортовался. Конечно же имеется ввиду полная энергия частицы несколько большая энергии массы покоя $E=\sqrt{m^2+p^2}.$ В моем примере в части указания значения энергии ($\varepsilon=1.000499$) также описка. Здесь в относительных единицах $p_1=0,1$ и, соответственно, $\varepsilon=1.00499.$ Однако в табличных результатах описок я не заметил.

-- 25.02.2014, 15:53 --

Helium в сообщении #830330 писал(а):

Цитата
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E0%F0% ... 5%E9%ED%E0

Парадо́кс Кле́йна возникает при рассмотрении задачи о туннелировании релятивистской частицы через высокий потенциальный барьер. При решении уравнения Дирака вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, высота которого больше, чем удвоенная энергия покоя частицы, стремится к единице, независимо от высоты барьера.

У меня имеется расхождение с wikipedia.org. По моим расчетам вероятность прохождения через высокий барьер равна единице лишь при $U=2E$. При других же значениях $U$ коэффициент прохождения частицы падает, так как в этих случаях коэффициент отражения волны от барьера отличен от нуля.

[Helium]

Lvov в сообщении #830505 писал(а):

У меня имеется расхождение с wikipedia.org. По моим расчетам вероятность прохождения через высокий барьер равна единице лишь при $U=2E$. При других же значениях $U$ коэффициент прохождения частицы падает, так как в этих случаях коэффициент отражения волны от барьера отличен от нуля.

Это не парадокс Клейна. Парадокс Клейна это когда частица находится на дне потенциальной ямы и кроме своей энергии покоя $m{c}^{2}$ никакая другая энергия не сообщается частице извне. Только делаются манипуляции с размерами ямы и главное с высотой (глубиной) ямы.

[Lvov]

Helium в сообщении #830548 писал(а):

Это не парадокс Клейна. Парадокс Клейна это когда частица находится на дне потенциальной ямы и кроме своей энергии покоя $m{c}^{2}$ никакая другая энергия не сообщается частице извне. Только делаются манипуляции с размерами ямы и главное с высотой (глубиной) ямы.

Напомню слова из Википедии

Цитата:

"Парадо́кс Кле́йна возникает при рассмотрении задачи о туннелировании релятивистской частицы через высокий потенциальный барьер. При решении уравнения Дирака вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, высота которого больше, чем удвоенная энергия покоя частицы..."

Итак речь идет не о потенциальной яме, а о преодолении потенциального барьера с уровнем энергии $U>2m$, что я и рассматриваю. Разница в том, что в классическом случае парадокса Клейна, рассматривается решение уравнения Дирака, а не Клейна-Гордона. Я же касаюсь обоих уравнений, но детально рассматриваю решение уравнения Клейна-Гордона. А его решение ведет себя несколько иначе, чем решение уравнения Дирака. Прежде всего потому, что у Дирака другая формула для плотности потока электрона, поэтому коэффициент прохождения электрона получается несколько иной.
Но общее в обоих случаях то, что при огромном запирающем потенциале и умеренном импульсе получается высокий коэффициент прохождения частицы через через заграждающий барьер.

[Helium]

Lvov в сообщении #830577 писал(а):

А его решение ведет себя несколько иначе, чем решение уравнения Дирака.

Уравнение Клейна-Гордона надо переделать. Качественно решения могут соответствовать действительности но не количественно.

Lvov в сообщении #830577 писал(а):

огромном запирающем потенциале и умеренном импульсе получается высокий коэффициент прохождения частицы через через заграждающий барьер.

Об умеренном импульсе ничего не сказано в формулировке парадокса.

Lvov в сообщении #830505 писал(а):

высота которого больше, чем удвоенная энергия покоя частицы,

Только говорится об энергии покоя. Отсюда можно делать вывод, что нету никакой другой энергии кроме энергии покоя.

А просто прохождение частицы с определенной энергией через барьер какой же это парадокс?

[Lvov]

Helium в сообщении #830601 писал(а):

А просто прохождение частицы с определенной энергией через барьер какой же это парадокс?

Парадокс в том, что частица с малой кинетической энергией свободно проходит через очень высокий заграждающий барьер $U>E+m$.

Теперь я сделаю паузу, и затем выставлю сообщение с результатами расчета уравнения Дирака, сродни тем, которые сделаны для уравнения Клейна-Гордона в сообщении post830271.html#p830271.

[Helium]

Lvov в сообщении #830778 писал(а):

Парадокс в том, что частица с малой кинетической энергией свободно проходит через очень высокий заграждающий барьер $U>E+m$.

Я о том как уже говорил

Helium в сообщении #829253 писал(а):

Коэффициент прохождения равняется 1 в момент достижения энергии $E=2m{c}^{2}$ так что далее поднимать энергию какой смысл?

частица проходит и без сообщения дополнительной энергии (не считая конечно энергию нулевых колебаний). Важно только достижение высоты стенок $2m{c}^{2}$. Такое решение было приведено на первом примере.



г. Lvov а по вашим расчетам какую энергию приобретает частица после прохождения?

[Lvov]

Замечание: В сообщении post830271.html#p830271 в формуле (2) допущена описка, а именно упущены индексы у импульсов $P.$ Правильная запись формулы такова

$$1+R=T;\,\,\, -iP_1+iP_1R=-iP_2T.\,\,\,(2)$$

Эта описка не сказывается на ниже приводимых формулах и результатах, которые получены с учетом указанных индексов.

-- 26.02.2014, 19:22 --

Helium в сообщении #830790 писал(а):

Коэффициент прохождения равняется 1 в момент достижения энергии $E=2m{c}^{2}$ так что далее поднимать энергию какой смысл?...
Lvov а по вашим расчетам какую энергию приобретает частица после прохождения?

Рассматривается стационарная волна с энергией $E$ немного превышающей энергию покоя, так как кинетическая энергия электрона относительно мала. Велика же потенциальная энергия $U$, определяющая высоту заграждающего барьера.
В стационарной состоянии энергия $E$, определяемая частотой осцилляции волновой функции, - постоянная величина.

[Helium]

Lvov в сообщении #830841 писал(а):

Рассматривается стационарная волна с энергией $E$ немного превышающей энергию покоя, так как кинетическая энергия электрона относительно мала. Велика же потенциальная энергия $U$, определяющая высоту заграждающего барьера.
В стационарной состоянии энергия $E$, определяемая частотой осцилляции волновой функции, - постоянная величина.

Видимо парадокс Клейна проявляется по разному в случае стационарной волны с барьером и в случае потенциальной ямы. Или эти случаи описывают совершенно разные явления. В случае потенциальной ямы кинетическая энергия не остается на начальном уровне а увеличивается 8-10 раз. И соответственно уменьшается энергия $E$ . То есть разность фактически излучается.

г.Lvov Хотел еще спросить. Какую роль играет в Ваших примерах толщина барьера? Решение зависит от толщины? или только от высоты?

[Lvov]

Helium в сообщении #831152 писал(а):

Видимо парадокс Клейна проявляется по разному в случае стационарной волны с барьером и в случае потенциальной ямы. Или эти случаи описывают совершенно разные явления. В случае потенциальной ямы кинетическая энергия не остается на начальном уровне а увеличивается 8-10 раз. И соответственно уменьшается энергия $E$ . То есть разность фактически излучается.

г.Lvov Хотел еще спросить. Какую роль играет в Ваших примерах толщина барьера? Решение зависит от толщины? или только от высоты?

Уважаемый Helium, меня также интересует вопрос, насколько имеют общность решения для потенциального ящика и потенциальной ямы, особенно при больших значениях потенциального перепада? Надо с этим вопросом разобраться.
Об излучении речи нет, поскольку мы рассматриваем стационарные задачи.
Я рассматриваю прохождение волны через односторонний барьер в виде ступеньки при $x=0,$ поэтому о его ширине (толщине) речь не ведется.

[Helium]

Lvov в сообщении #831246 писал(а):

Уважаемый Helium, меня также интересует вопрос, насколько имеют общность решения для потенциального ящика и потенциальной ямы, особенно при больших значениях потенциального перепада? Надо с этим вопросом разобраться.

Но в этом вопросе мы уже разобрались в другой теме начиная от сообщения и далее.

Helium в сообщении #759457 писал(а):

Я понял какое расхождение Вы имели ввиду. Все это стереотипы возникающие из за нормировки потенциальной энергии на бесконечность. Когда в уравнении пишем глубина ямы скажем -10 а.е. то имеется ввиду что частица запускается в яму с начальной потенциальной энергией равной 0 а.е. и достигнув дна будет иметь соответственно высокую кинетическую энергию. А если мы хотим иметь на дне ямы частицу с кинетической энергией равной нулю то мы должны как бы сначала положить частицу на дно. Для этого необходимо отнять у частицы потенциальную энергию 10 а.е.

Задачи для ямы и ящика отличаются тем , что для ямы нулевое значение потенциала принимается в бесконечности. А для ящика нулевое значение принимается на дне ящика. Но одну задачу легко можно превратить в другую как было сказано ранее.

Lvov в сообщении #831246 писал(а):

Об излучении речи нет, поскольку мы рассматриваем стационарные задачи.

Излучении нет когда фиксируем кинетическую энергию на определенном уровне. Но когда кинетическая энергия формируется автоматически то при переходе из одного стационарного состояния в другое излучение есть.

Helium в сообщении #759279 писал(а):

А зачем нужно фиксировать кинетическую энергию на низком уровне? Не лучше когда она будет формироваться автоматический в ходе решения?

Такой переход происходит в нашем случае когда высота стенок ямы или ящика достигает значения $2m{c}^{2}$

[Lvov]

Helium в сообщении #831271 писал(а):

1.Задачи для ямы и ящика отличаются тем , что для ямы нулевое значение потенциала принимается в бесконечности. А для ящика нулевое значение принимается на дне ящика. Но одну задачу легко можно превратить в другую как было сказано ранее.
2. Излучении нет когда фиксируем кинетическую энергию на определенном уровне. Но когда кинетическая энергия формируется автоматически то при переходе из одного стационарного состояния в другое излучение есть.
3. Такой переход происходит в нашем случае когда высота стенок ямы или ящика достигает значения $2m{c}^{2}$

1. "...для ямы нулевое значение потенциала принимается в бесконечности".
Наверное Вы хотели сказать "нулевое значение потенциала принимается вне ямы".
Как же можно "одну задачу превратить в другую"? Я не понимаю.

2. Но мы то рассматриваем лишь стационарные задачи, где энергия частицы - константа $E.$

3. При относительно малом импульсе переход, отвечающий парадоксу Клейна, происходит при запирающем потенциале $U>E+m$, что больше, чем $2m.$

[Helium]

Lvov в сообщении #831470 писал(а):

1. "...для ямы нулевое значение потенциала принимается в бесконечности".
Наверное Вы хотели сказать "нулевое значение потенциала принимается вне ямы".
Как же можно "одну задачу превратить в другую"? Я не понимаю.

Да для ямы нулевое значение потенциала принимается равным нулю вне ямы поэтому потенциальная энергия всегда имеет отрицательное значение. А для ящика нулевое значение потенциальной энергии принимается на дне поэтому потенциальная энергия положительна. Задачу для ямы можно превратить в задачу для ящика путем положения частицы на дно т.е. если отнять энергию равную глубине ямы. И наоборот задачу для ящика можно превратить в задачу для ямы если прибавить энергию равную высоте стенок то есть если запустить частицу с поверхности.

Можно привести аналогию. Допустим есть колодец и есть камень. Имеются две задачи
1. Мы стоим на краю колодца и бросаем камень в колодец. Определить поведение камня. и
2. Мы стоим на дне колодца и спокойно кладем камень на дно и отпускаем. Определить поведение камня.

Ясно что эти задачи отличаются только значением потенциальной энергии камня.

[Helium]

Lvov в сообщении #831470 писал(а):

2. Но мы то рассматриваем лишь стационарные задачи, где энергия частицы - константа $E.$

Да но есть 2 стационарных состояния до прохождения и после. В этих двух стационарных состояниях энергия разная. Имею ввиду случай ямы или ящика как угодно.

На практике я не представляю как частица может оказаться на дне ямы вначале. Чисто математически может. Как мы и делаем отнимая потенциальную энергию.