Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика

[Theoristos]

Helium: ваша позиция неконструктивна. Покажите решение, желательно аналитическое, расскажите как именно оно получилось. Или дайте ссылки на работы где такое подробно разбирается, а не только декларируется.

Добавлю, что численные решения, особенно в цилиндрических-сферических, координатах надо внимательно проверять. При решении некорректоно поставленных задач могут вылезти артефакты связанные, например, с "очевидным" обрезанием решения областью R>0.

[Helium]

Theoristos в сообщении #741522 писал(а):

Helium: ваша позиция неконструктивна. Покажите решение, желательно аналитическое, расскажите как именно оно получилось. Или дайте ссылки на работы где такое подробно разбирается, а не только декларируется.

Добавлю, что численные решения, особенно в цилиндрических-сферических, координатах надо внимательно проверять. При решении некорректоно поставленных задач могут вылезти артефакты связанные, например, с "очевидным" обрезанием решения областью R>0.

Никакой ссылки нету такое подробно разбирается только у меня Я уже говорил, пример который показал это трехмерное решение в декартовых координатах а в сферических координатах получается то же самое решение. Не знаю теперь какой термин лучше использовать раз гидрино не нравится. Спектр почти идеально непрерывный имеются множество близко расположенных состояний так что легко можно спутать с тепловым излучением.

Хотя по теории Миллза энергия связи ${E}_{svyazi}=\frac{13.6eV}{{n}^{2}}, n= \frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}.....\frac{1}{137.036}$

я таких характерных состояний не нашел.

Имеются два характерных состояния первое $E+{E}_{svyazi}=m{c}^{2}$ и второе $E=0$. Первое состояние имеет орбитальный радиус

$0.413057 \cdot{10}^{-12}m$ а второе состояние это имитация падения электрона на центр с полной аннигиляцией. Но падение на центр не

происходит так как минимальный орбитальный радиус получается практический равным Комптоновскому радиусу

$\frac{1}{137.036} \cdot52.9 \cdot{10}^{-12}=0.386 \cdot{10}^{-12}m$

Какое из этих состоянии устойчивое я еще не выяснил но подозреваю что первое.

Гидрино просто так сам по себе не может образоваться нужны особые условия так сказать целенаправленный синтез. И сколько я понял очень важен первый толчок а дальше процесс пойдет самостоятельно до самого низкого состояния.

[Munin]

Helium в сообщении #741850 писал(а):

Не знаю теперь какой термин лучше использовать раз гидрино не нравится.

Зачем вам для решения отдельный термин?

[Lvov]

Цитата:

Munin:
Да не вытекает из него (ур. КГ) парадоксов вообще. Уравнение как уравнение. Вытекают из него решения в разных гранусловиях, вот и всё.
...есть "парадокс Клейна" - в единственном числе, с именем, и в кавычках. А что вы произнесли:

Цитата:

Lvov в сообщении #739977 писал(а):
у меня недостаточно точное изложение парадоксов, вытекающих из уравнения К-Г.

- этого, повторяю, вообще в природе нет.

Судя по литературе, "парадокс Клейна" заключается в том, что определенное решение уравнения Дирака, описывающее прохождение электронной волны сквозь высокий заграждающий потенциальный барьер $U>2m$, показывает, что при некоторой умеренной энергии частицы коэффициент ее прохождения равен 1, а коэффициент отражения равен 0. Это более "круто", чем те явления, о которых я говорил в своих сообщениях.
Я не рассчитывал коэффициент прохождения волны Клейна-Гордона через высокий заграждающий барьер, и поэтому говорил о недостаточно точном моем изложении вопроса. Однако легко показать, что и в случае УКГ при заграждающем барьере $U>2m$ существует такая умеренная энергия частицы $E$ и соответствующий импульс $p$, при которых коэффициент прохождения частицы будет равен 1. И обратно, для любого умеренного значения импульса частицы ($p << m$), существует энергия заграждающего барьера $U>2m$, при которой коэффициент прохождения частицы сквозь барьер равен единице.

Как я указывал в своем сообщении от 24.06.2013, 13:09 импульсы частицы перед и за барьером ($p_1$ и $p_2$) удовлетворяет соотношениям

$$E^2 - p_1^2 = m^2$$

и

$$(E-U)^2 - p_2^2 = m^2.$$

Приравняв значения указанных импульсов $p_1=p_2=p$, можно определить значение соответствующего заграждающего потенциала, которое в случае умеренного значения импульсов удовлетворяет соотношению $U\approx 2m+ p^2/(2m).$
Пусть уравнения пространственных частей падающей, отраженной и проходящей волны имеют вид

$$\psi_0 = \exp(- i p x), \psi_r = R \exp( i p x), \psi_t = T \exp(- i p x).$$

Приравнивая амплитуды и первые производные суммы волновых функций слева и справа от барьера при $x=0$, получаем два уравнения для амплитудных коэффициентов рассматриваемых волн.

$$1+R=T,$$

$$-ip+ipR=-ipT.$$

Решая указанную систему уравнений, получим $R=0$ и $T=1$, т.е. коэффициент прохождения сквозь барьер волны равен 1, а коэффицент ее отражения равен 0.

[alexandrovod]

На сколько мне известно из школьной (институтской) математики диф.уравнения второй степени без члена первй степени, в отличие от уранений первой степени не дают однозначного ответа и используются только для проверки. Попрос хороший. но не мучайся ясного ответа не найдёшь. Овод

[Lvov]

alexandrovod в сообщении #758893 писал(а):

На сколько мне известно из школьной (институтской) математики диф.уравнения второй степени без члена первй степени, в отличие от уранений первой степени не дают однозначного ответа и используются только для проверки. Вопрос хороший. но не мучайся ясного ответа не найдёшь. Овод

Я все же рискну ответить на этот вопрос. Стационарные волновые диф. уравнения второго порядка (Клейна-Гордона) при заданных граничных условиях имеют два решения: одно с положительной частотой $+i\omega$, другой с отрицательной частотой $-i\omega.$ Соответственно для частицы и античастицы (или наоборот).
В данном случае выбрано решение с частотой, отвечающей частице с отрицательным зарядом - электрону. См. подробнее в статье.

[Helium]

Lvov в сообщении #741877 писал(а):

Судя по литературе, "парадокс Клейна" заключается в том, что определенное решение уравнения Дирака, описывающее прохождение электронной волны сквозь высокий заграждающий потенциальный барьер $U>2m$, показывает, что при некоторой умеренной энергии частицы коэффициент ее прохождения равен 1, а коэффициент отражения равен 0. Это более "круто", чем те явления, о которых я говорил в своих сообщениях.
Я не рассчитывал коэффициент прохождения волны Клейна-Гордона через высокий заграждающий барьер, и поэтому говорил о недостаточно точном моем изложении вопроса. Однако легко показать, что и в случае УКГ при заграждающем барьере $U>2m$ существует такая умеренная энергия частицы $E$ и соответствующий импульс $p$, при которых коэффициент прохождения частицы будет равен 1. И обратно, для любого умеренного значения импульса частицы ($p << m$), существует энергия заграждающего барьера $U>2m$, при которой коэффициент прохождения частицы сквозь барьер равен единице.

Уважаемый Lvov если сообщите конкретные размеры потенциальной ямы то я могу рассчитать поведение электрона. Вот к примеру поведение электрона в трехмерной потенциальной яме в виде сферы с глубиной -10 а.е. и радиусом 5 а.е.

[Munin]

alexandrovod в сообщении #758893 писал(а):

На сколько мне известно из школьной (институтской) математики диф.уравнения второй степени без члена первй степени, в отличие от уранений первой степени не дают однозначного ответа и используются только для проверки.

Это просто бред. Диф. уравнения второй степени всего лишь имеют пространство решений большей размерности, и соответственно, требуют больше условий (например, в задаче Коши).

Lvov в сообщении #758926 писал(а):

Стационарные волновые диф. уравнения второго порядка (Клейна-Гордона) при заданных граничных условиях имеют два решения: одно с положительной частотой $+i\omega$, другой с отрицательной частотой $-i\omega.$ Соответственно для частицы и античастицы (или наоборот).

На самом деле, две частоты - это просто две частоты. А их интерпретации как частиц и античастиц появляются в более мощной теории - в КТП.

[Lvov]

Helium в сообщении #758941 писал(а):

Уважаемый Lvov если сообщите конкретные размеры потенциальной ямы то я могу рассчитать поведение электрона. Вот к примеру поведение электрона в трехмерной потенциальной яме в виде сферы с глубиной -10 а.е. и радиусом 5 а.е.

Г. Helium, в теме рассматривается парадоксальное поведение заряженных частиц с относительно малой кинетической энергией в потенциальном ящике с очень высоким запирающим потенциалом $U>2Eo$ (здесь $U$ -энергия запирания, $Eo$ - энергия покоя частицы) при использовании для их описания уравнения Клейна-Гордона. Попробуйте найти электронное решение с умеренной кинетической энергией в одномерном потенциальном ящике шириной 10 а.е.с запирающим потенциалом $U=2,1E_o$.

С уважением О.Львов

[zubik67]

Helium в сообщении #741850 писал(а):

Никакой ссылки нету такое подробно разбирается только у меня Я уже говорил, пример который показал это трехмерное решение в декартовых координатах а в сферических координатах получается то же самое решение.

Нету у вас никакого решения. Есть только треп, что вы получили какие-то результаты и реклама лженауки.

[Helium]

Lvov в сообщении #759194 писал(а):

Helium в сообщении #758941 писал(а):

Уважаемый Lvov если сообщите конкретные размеры потенциальной ямы то я могу рассчитать поведение электрона. Вот к примеру поведение электрона в трехмерной потенциальной яме в виде сферы с глубиной -10 а.е. и радиусом 5 а.е.

Г. Helium, в теме рассматривается парадоксальное поведение заряженных частиц с относительно малой кинетической энергией в потенциальном ящике с очень высоким запирающим потенциалом $U>2Eo$ (здесь $U$ -энергия запирания, $Eo$ - энергия покоя частицы) при использовании для их описания уравнения Клейна-Гордона. Попробуйте найти электронное решение с умеренной кинетической энергией в одномерном потенциальном ящике шириной 10 а.е.с запирающим потенциалом $U=2,1E_o$.

С уважением О.Львов

А зачем нужно фиксировать кинетическую энергию на низком уровне? Не лучше когда она будет формироваться автоматический в ходе решения? А чем принципиально одномерный случай отличается от трехмерного? Над одномерным случаем я еще подумаю. При решении трехмерного случая заметна следующая закономерность: чем глубже яма тем сильнее электрон локализуется в центре и тем сильнее спадает амплитуда волновой функции вдали от центра. Привожу пример решения для ямы глубиной $E=-0.01m{c}^{2}$ и радиусом 5а.е. Не знаю реально ли получить решения для ямы $E=-2.1m{c}^{2}$ ? Наверное при этом кинетическая энергия превысит значение $E=m{c}^{2}$ и задача потеряет физический смысл.

[Lvov]

Helium в сообщении #759279 писал(а):

Не знаю реально ли получить решения для ямы $E=-2.1m{c}^{2}$ ? Наверное при этом кинетическая энергия превысит значение $E=m{c}^{2}$ и задача потеряет физический смысл.

Г.Helium, Вы правы: кинетическая энергия частицы, удерживаемой в ящике с очень высоким заграждающем потенциалом, превышает $E=m{c}^{2}$. Но почему, частица с малой энергией выскальзывает из такого ящика? Ведь согласно уравнению Шредингера, основное нижнее энергетическое состояние частицы в широком ящике остается малым при любом большом запирающем потенциале, вплоть до бесконечного.
И еще, почему высокоэнергетическое состояние частицы Вы считаете бессмысленным?
С уважением О.Львов

[Helium]

Lvov в сообщении #759316 писал(а):

Helium в сообщении #759279 писал(а):

Не знаю реально ли получить решения для ямы $E=-2.1m{c}^{2}$ ? Наверное при этом кинетическая энергия превысит значение $E=m{c}^{2}$ и задача потеряет физический смысл.

Г.Helium, Вы правы: кинетическая энергия частицы, удерживаемой в ящике с очень высоким заграждающем потенциалом, превышает $E=m{c}^{2}$. Но почему, частица с малой энергией выскальзывает из такого ящика? Ведь согласно уравнению Шредингера, основное нижнее энергетическое состояние частицы в широком ящике остается малым при любом большом запирающем потенциале, вплоть до бесконечного.
И еще, почему высокоэнергетическое состояние частицы Вы считаете бессмысленным?
С уважением О.Львов

В потенциальной яме (в связанном состоянии) при увеличении глубины или сужении размеров кинетическая энергия увеличивается. Избыток этой энергии (равная увеличенной кинетической энергии)излучается. Тем самым масса электрона превращается в энергию. Из этой логики следует что излучаемая энергия и соответственно кинетическая энергия не может превышать предельное значение равное энергии покоя $E=m{c}^{2}$.Поэтому такое высокоэнергетическое состояние бессмысленно. В указанных условиях нету частицы с малой энергией. Естественно если яма не достаточно глубокая то частица набрав необходимую энергию покидает яму. А поведение решения уравнения Шредингера можно рассматривать и анализировать отдельно.

[Helium]

Lvov в сообщении #759316 писал(а):

Но почему, частица с малой энергией выскальзывает из такого ящика? Ведь согласно уравнению Шредингера, основное нижнее энергетическое состояние частицы в широком ящике остается малым при любом большом запирающем потенциале, вплоть до бесконечного.

Я понял какое расхождение Вы имели ввиду. Все это стереотипы возникающие из за нормировки потенциальной энергии на бесконечность. Когда в уравнении пишем глубина ямы скажем -10 а.е. то имеется ввиду что частица запускается в яму с начальной потенциальной энергией равной 0 а.е. и достигнув дна будет иметь соответственно высокую кинетическую энергию. А если мы хотим иметь на дне ямы частицу с кинетической энергией равной нулю то мы должны как бы сначала положить частицу на дно. Для этого необходимо отнять у частицы потенциальную энергию 10 а.е. И в результате получим, что при таких условиях глубина ямы уже не играет роли и частица будет находится в основном нижнем энергетическом состоянии. Вот тот же пример глубина ямы -10 а.е. и радиус 5.а.е.

[Lvov]

Helium в сообщении #759457 писал(а):

Когда в уравнении пишем глубина ямы скажем -10 а.е. то имеется ввиду что частица запускается в яму с начальной потенциальной энергией равной 0 а.е. и достигнув дна будет иметь соответственно высокую кинетическую энергию.

Г.Helium, похоже, у нас с Вами расхождения в части граничных условий задачи. Я говорю о потенциальном "ящике", на дне которого потенциальная энергия частицы равна нулю, а за его пределами - энергии запирания $U$. Вы же говорите о потенциальной "яме", где потенциальная энергия частицы равна нулю за пределами ямы, в то время, как внутри ямы, она отрицательна. Не приведет ли такое различие в граничных условиях к принципиально разным решениям при больших значениях заграждающего потенциала.
С уважением О.Львов