Рассматриваю случай 3zy+1=x^3

[ananova]

vasili в сообщении #764952 писал(а):

Уважаемый ananova! Теперь, когда Вы определились с обозначений делителей числа Y, ждем от Вас утверждений.

К сожалению, пока ничего интересного не могу добавить, кроме вышесказанного.

[ananova]

Еще раз перечитал эту свою тему с первого поста. - Нашел пару неточностей и больше ничего важного.

Решил оставить комментарий на будущее, чтобы не забыть, - существующие разности между соседними кубами можно записать так:
(1)

$$3y(y-1)+1=y^3-(y-1)^3=X_{y-1}$$

(2)

$$3(y+1)y+1=(y+1)^3-y^3=x_{y}^3$$

(3)

$$3(y+2)(y+1)+1=(y+2)^3-(y+1)^3=X_{y+1}$$

$X_{y-1}, X_{y+1}$ - не являются кубами.

Можно утверждать, что произведения: $X_{y-1} \cdot x_{y}^3$ и $x_{y}^3 \cdot X_{y+1}$ не являются кубами.

[ananova]

Как известно, "куб минус 1" не является кубом: $x^3-1$.
Было бы интересно, если бы $x^3-1$ не содержал ни одного множителя-куба в каноническом представлении. Нет ли контрпримера к моей, возможно глупой, гипотезе?

[alexo2]

$x-1$ - множитель, который всегда будет. Так что можно напридумывать бесконечно много "чего", когда это будет кубом...

Контрпримеры со всеми у, когда $x = y^3+1$
9, 28, 65 и т.д.

[Vinter]

Обращаю внимание
Для любого числа, четного или нечетного, не кратного $3$, выполняется зависимость:
$x^3=3y\pm1$
где $y$- простое или составное целое число.

[ananova]

Vinter в сообщении #834875 писал(а):

Обращаю внимание
Для любого числа, четного или нечетного, не кратного $3$, выполняется зависимость:
$x^3=3y\pm1$
где $y$- простое или составное целое число.

Не правда
$x^3 > 3y\pm1$,
т.к. $x^3 = 3y(y+1) +1$

[Vinter]

Чтобы было понятно:
$x^3=3N\pm1$
$7^3=3\cdot114+1$
$14^3=3\cdot915-1$
Формула:
$x^3=3N\pm1$
никакого отношения к формуле:
$3zy+1=x^3$
не имеет.
Я привел общую закономерность для всех возводимых в куб чесел,
не кратных $3$.
Формула: $3zy+1=x^3$ не верна со всеми вытекающими
последствиями для приведенного автором доказательства.

[vasili]

Уважаемый Vinter! А почему уравнение ("формула" как Вы пишете) $3ZY +1 =X^3$ не верно? Где тому доказательство?

[Vinter]

Во-первых, доказательство основано на утверждении, что многочлены
$(X-1), (X^2+X+1)$ взаимно проты. Это не так. Пример:
$X=7$
$7-1=6=2\cdot3$
$7^2+7+1=57=3\cdot19$

Во-вторых, в уравнении автора
$X^3=3Y(Y+1)+1$
только предполагается, что $X$ целое число.
В приведенном мною уравнении $X^3=3N\pm1$
$X$ заданное целое число.
При этом число $N$ всегда делится на $3$

[vasili]

Уважаемый Vinter! Во - первых: Вопрос мой уточнял Ваше отношение к уравнению $3ZY + 1 =X^3$
и не относился к попытке его доказательства автором.
Во-вторых: Как правило доказательство ВТФ проводиться от противного, т.е. допускается существование
целых рациональных (не равных нулю чисел), удовлетворяющих уравнению $X^P + Y^P =Z^P$.
И если это допущение приводит к противоречию, то теорема доказана.
И в нашем случае, автор допускает существование целых чисел удовлетворяющих уравнению
$3ZY + 1 =X^3$ и если это допущение приведет нас к противоречию, то частный случай ВТФ для P=3, когда $Z =Y +1$, будет доказан.
К сожалению противоречие не возникает, от того, что $X^3 = 9m +1$.

[Vinter]

Уважаемый vasili

Во-первых, доказательство, построенное на заведомо неверном утверждении о взаимной просторе указанных автором многочленов, неверно.
Во-вторых, любое нечетное число в любой степени $1, 2,3...$ представимо в виде:
$X=3K\pm1$
$X^3=3N\pm1$
Отсюда:
$X^3= (3K\pm1)^3=3[3K(3K^2\pm3K+1)]\pm1=3N\pm1$ (1)
Уравнение автора:
$X^3=(Y+1)^3-Y^3=3Y(Y+1)+1$ (2)
Как раз из того очевидного факта, что в соответствии с формулами (1), (2):
$N=3K[(3K^2\pm3K)+1] \ne Y(Y+1)$
и следует, что уравнение (2) не имеет решения в целых числах, поскольку число $Y$ не может быть одновременно равно:
$Y=3K$
$Y=3K^2\pm3K$
А доказательство, приведенное автором, неверно.

[vasili]

Уважаемый Vinter! Почему Вы считаете, что все простые делители множителя K принадлежат числу Y?
А если часть этих простых делителей принадлежат $Y + 1$?

[Vinter]

Уважаемый vasili,
числа $Y, (Y+1)$ взаимно простые.
Числа $3K$ и $3K^2\pm3K=3K(K\pm1)$
не взаимно простые. О какой "передислокации" делителей из одного числа
в другое может идти речь?
Приведите числовой пример, выполнив расчеты по форомулам (1) и (2), приведенным в моем предыдущем сообщении.

[vasili]

Уважаемый Vinter! Если $ab = cd$, то это не значит, что обязательно $a=c$.
От того,что никто не нашел конкретных натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению $3ZY + 1 = X^3$ не значит, что указанное уравнение доказано.

[Vinter]

Уважаемый vasili,
приведенный Вами "пример" без указания, являются ли числа $a, b, c, d$ простыми или составными, и не являющийся результатом преобразования уравнения (1), лишен всякого смысла. Такие "примеры" я не комментирую.