2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение23.02.2014, 21:24 


03/03/12
1380
В правой части числитель и знаменатель надо разделить на $(a+b+c)$. Затем АМ-ГМ даёт усиленный максимум правой части, который равен $\frac3 2$. В левой части по неравенству Несбита минимум равен $\frac3 2$. Этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение23.02.2014, 21:32 


25/08/11

1074
Красиво сделано. Можно без деления: то, что данная правая часть не больше 3/2 сразу эквивалентно неравенству о средних.

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение23.02.2014, 22:05 


03/03/12
1380
В моём случае неравенство о средних даёт усиленное неравенство.
sergei1961,
что значит сразу и эквивалентно. Можно подробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение23.02.2014, 22:14 


25/08/11

1074
Обозначим $a+b+c=s, {(abc)}^\frac{1}{3}=p.$
У меня получилось, что $3/2\ge \frac{s}{s-p}$ эквивалентно $s\ge 3p$. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение23.02.2014, 22:24 


03/03/12
1380
Так. Всё понятно. Действительно, красиво. (С праздником Вас и всех читающих).

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение23.02.2014, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
А почему левая часть больше $\frac32$? В неравенстве Несбитта совсем другое, симметричное выражение.
arqady в сообщении #828004 писал(а):
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{a+b+c}{a+b+c-\sqrt[3]{abc}}$$
Например, при $a=1, b=3, c=5$ левая часть принимает вид $\frac14+\frac38+\frac56= \frac{35}{24}=1,458...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение23.02.2014, 22:50 


03/03/12
1380
provincialka,
точно, другое. Спасибо за внимательность и помощь. (Странно, что никто этого ранее не заметил). Значит, пока доказано неравенство не то, которое требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение23.02.2014, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
TR63 в сообщении #829986 писал(а):
Странно, что никто этого ранее не заметил
Может, просто никто не решал так, как вы. Тем более, что
ИСН в сообщении #829213 писал(а):
Я давно убедился: если Вам померещилось что-то простое в любой задаче от arqady, пересмотрите свои доводы. В них что-то не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение23.02.2014, 23:10 


03/03/12
1380
provincialka в сообщении #829989 писал(а):
Тем более, что
ИСН в сообщении #829213
писал(а):
Я давно убедился: если Вам померещилось что-то простое в любой задаче от arqady, пересмотрите свои доводы. В них что-то не так.

Я никому не навязываю своих доводов. Просто они дают предварительный результат, который потом оправдывается при стандартном доказательстве. Контрпримеров пока не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение24.02.2014, 09:23 


01/12/11

1047
Исследование графиков левой и правой части при фиксированных двух числах показало, что достаточно проверить неравенство при $c=\frac{a+b}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение24.02.2014, 09:37 


03/03/12
1380

(Оффтоп)

arqady в сообщении #829110 писал(а):
Что-то я не вижу здесь Несбита.
Мне следовало внимательнее прочитать это сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение24.02.2014, 10:47 


03/03/12
1380
Skeptic в сообщении #830066 писал(а):
Исследование графиков левой и правой части при фиксированных двух числах показало, что достаточно проверить неравенство при $c=\frac{a+b}{2}$

Я для такого частного случая проблем не вижу. А, графические решения мне не нравятся, т.к. я в них плохо разбираюсь. Если достаточно, то очень хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение24.02.2014, 11:05 


01/12/11

1047
Неравенство для положительных чисел можно представить в общем виде: $$A\geq\frac{B}{B-C}$$ Доказать его не представляет трудности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение24.02.2014, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Skeptic в сообщении #830086 писал(а):
Неравенство для положительных чисел можно представить в общем виде: $$A\geq\frac{B}{B-C}$$ Доказать его не представляет трудности.

Докажите для $A=0.1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Красивое неравенство
Сообщение24.02.2014, 11:52 


03/03/12
1380
Skeptic,
я поняла Ваш графический метод. В этой точке получается полный квадрат после замены $a=kb$ при $a<c<b$. Действительно, её (средней) одной достаточно.

-- 24.02.2014, 13:01 --

А, может, не достаточно. Думаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 133 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group