Красивое неравенство

[TR63]

В правой части числитель и знаменатель надо разделить на $(a+b+c)$. Затем АМ-ГМ даёт усиленный максимум правой части, который равен $\frac3 2$. В левой части по неравенству Несбита минимум равен $\frac3 2$. Этого достаточно.

[sergei1961]

Красиво сделано. Можно без деления: то, что данная правая часть не больше 3/2 сразу эквивалентно неравенству о средних.

[TR63]

В моём случае неравенство о средних даёт усиленное неравенство.
sergei1961,
что значит сразу и эквивалентно. Можно подробнее.

[sergei1961]

Обозначим $a+b+c=s, {(abc)}^\frac{1}{3}=p.$
У меня получилось, что $3/2\ge \frac{s}{s-p}$ эквивалентно $s\ge 3p$. Разве не так?

[TR63]

Так. Всё понятно. Действительно, красиво. (С праздником Вас и всех читающих).

[provincialka]

А почему левая часть больше $\frac32$? В неравенстве Несбитта совсем другое, симметричное выражение.

arqady в сообщении #828004 писал(а):

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{a+b+c}{a+b+c-\sqrt[3]{abc}}$$

Например, при $a=1, b=3, c=5$ левая часть принимает вид $\frac14+\frac38+\frac56= \frac{35}{24}=1,458...$

[TR63]

provincialka,
точно, другое. Спасибо за внимательность и помощь. (Странно, что никто этого ранее не заметил). Значит, пока доказано неравенство не то, которое требуется.

[provincialka]

TR63 в сообщении #829986 писал(а):

Странно, что никто этого ранее не заметил

Может, просто никто не решал так, как вы. Тем более, что

ИСН в сообщении #829213 писал(а):

Я давно убедился: если Вам померещилось что-то простое в любой задаче от arqady, пересмотрите свои доводы. В них что-то не так.

[TR63]

provincialka в сообщении #829989 писал(а):

Тем более, что
ИСН в сообщении #829213
писал(а):
Я давно убедился: если Вам померещилось что-то простое в любой задаче от arqady, пересмотрите свои доводы. В них что-то не так.

Я никому не навязываю своих доводов. Просто они дают предварительный результат, который потом оправдывается при стандартном доказательстве. Контрпримеров пока не было.

[Skeptic]

Исследование графиков левой и правой части при фиксированных двух числах показало, что достаточно проверить неравенство при $c=\frac{a+b}{2}$

[TR63]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #829110 писал(а):

Что-то я не вижу здесь Несбита.

Мне следовало внимательнее прочитать это сообщение.

[TR63]

Skeptic в сообщении #830066 писал(а):

Исследование графиков левой и правой части при фиксированных двух числах показало, что достаточно проверить неравенство при $c=\frac{a+b}{2}$

Я для такого частного случая проблем не вижу. А, графические решения мне не нравятся, т.к. я в них плохо разбираюсь. Если достаточно, то очень хорошо.

[Skeptic]

Неравенство для положительных чисел можно представить в общем виде:

$$A\geq\frac{B}{B-C}$$

Доказать его не представляет трудности.

[TOTAL]

Skeptic в сообщении #830086 писал(а):

Неравенство для положительных чисел можно представить в общем виде:

$$A\geq\frac{B}{B-C}$$

Доказать его не представляет трудности.

Докажите для $A=0.1$

[TR63]

Skeptic,
я поняла Ваш графический метод. В этой точке получается полный квадрат после замены $a=kb$ при $a<c<b$. Действительно, её (средней) одной достаточно.

-- 24.02.2014, 13:01 --

А, может, не достаточно. Думаю.