Пусть
![$(i = 0, 1, 2, ..., N)$ $(i = 0, 1, 2, ..., N)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95de8251d511d34c77956070e96a7cc082.png)
- число молекул в объеме
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
. Тогда
![$P(n_i)$ $P(n_i)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/7/747cc4bb12bed36485dac14f118e637e82.png)
- вероятность того, что в объеме
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
находится
![$n_i = i$ $n_i = i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/4/984c4ff3eadd5123f9efb1536b5b99a082.png)
молекул.
![$p = V/V_0$ $p = V/V_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/5/12532a7d886d515d7b4d4ea3dadf82f182.png)
- вероятность того, что данная молекула находится в объеме
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
. Значит, чтобы найти среднее число молекул в объеме
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
, нужно вычислить сумму
![$$ < n > = \sum\limits_{n = 1}^N {P({n_i}){n_i}} = \sum\limits_{n = 1}^N {P({n_i})i} $$ $$ < n > = \sum\limits_{n = 1}^N {P({n_i}){n_i}} = \sum\limits_{n = 1}^N {P({n_i})i} $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/b/0fb30f78dc635f32c903bc03d81f24c782.png)
Множитель
![$P(n_i)$ $P(n_i)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/7/747cc4bb12bed36485dac14f118e637e82.png)
можно найти как биномиальное распределение. То есть у нас есть
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
молекул. Молекула либо может находиться в объеме
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
, либо не может. Вероятность того, что она находится в объеме
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
равна
![$p = V/V_0$ $p = V/V_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/5/12532a7d886d515d7b4d4ea3dadf82f182.png)
. Какова вероятность того, что
![$n_i = i$ $n_i = i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/4/984c4ff3eadd5123f9efb1536b5b99a082.png)
молекул находятся в объеме
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
? Биномиальное распределение:
![$$P({n_i}) = \frac{{N!}}{{i!(N - i)!}}{(\frac{V}{{{V_0}}})^i}{(1 - \frac{V}{{{V_0}}})^{N - i}}$$ $$P({n_i}) = \frac{{N!}}{{i!(N - i)!}}{(\frac{V}{{{V_0}}})^i}{(1 - \frac{V}{{{V_0}}})^{N - i}}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/5/be5431347317547bcfadd11f48b8de5f82.png)
Если теперь вычислить сумму, учтя найденное выражение, то получится, что сумма равна
![$n(V_0/V)$ $n(V_0/V)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/2/2b26d8ef728c4505b6c78ab345aebabe82.png)
.
Посчитать сумму вручную я не пытался.
![Sad :-(](./images/smilies/icon_sad.gif)