2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Распределение молекул в идеальном газе
Сообщение22.02.2014, 16:19 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Изображение

Скажите, пожалуйста, можно ли ответить на вопрос а) используя мат. ожидание (среднее по ансамблю)?
$$ < n >  = \sum\limits_i {P({n_i}){n_i}} $$
Здесь $n_i$ - случайная дискретная величина, которую принимает переменная $n$, а $P(n_i)$ - вероятность появления этой величины.
Не понятно, что брать под $n_i$ в контексте данной задачи.

p.s. Интуитивно понятно, что на $<n> = N (V/V_0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение молекул в идеальном газе
Сообщение22.02.2014, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, именно так на этот вопрос и надо отвечать.
Поскольку $n$ - число молекул в под-объёме $V,$ то оно может принимать значения $\{0,1,\ldots,N\}.$ Проще всего перенумеровать их по порядку, $i=n,$ и суммировать по $i$ от 0 до $N.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение молекул в идеальном газе
Сообщение22.02.2014, 18:56 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Пусть $n_i = i$ $(i = 0, 1, 2, ..., N)$ - число молекул в объеме $V$. Тогда $P(n_i)$ - вероятность того, что в объеме $V$ находится $n_i = i$ молекул. $p = V/V_0$ - вероятность того, что данная молекула находится в объеме $V$. Значит, чтобы найти среднее число молекул в объеме $V$, нужно вычислить сумму
$$ < n >  = \sum\limits_{n = 1}^N {P({n_i}){n_i}}  = \sum\limits_{n = 1}^N {P({n_i})i} $$

Множитель $P(n_i)$ можно найти как биномиальное распределение. То есть у нас есть $N$ молекул. Молекула либо может находиться в объеме $V$, либо не может. Вероятность того, что она находится в объеме $V$ равна $p = V/V_0$. Какова вероятность того, что $n_i = i$ молекул находятся в объеме $V$? Биномиальное распределение:
$$P({n_i}) = \frac{{N!}}{{i!(N - i)!}}{(\frac{V}{{{V_0}}})^i}{(1 - \frac{V}{{{V_0}}})^{N - i}}$$

Если теперь вычислить сумму, учтя найденное выражение, то получится, что сумма равна $n(V_0/V)$.
Посчитать сумму вручную я не пытался. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение молекул в идеальном газе
Сообщение22.02.2014, 20:30 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
в б) (см. картинку в первом посте).

Среднее число молекул в объеме $V$ мы посчитали в а): $<n> = N (V/V_0)$, $N$ - число всех молекул, $V$ - объем части сосуда, $V_0$ - объем сосуда. По определению дисперсии
$ < \Delta {n^2} >  =  < {({n_i} -  < n > )^2} >  =  < {(i - N\frac{V}{{{V_0}}})^2} >  = \sum\limits_{i = 0}^N {P({n_i}){{(i - N\frac{V}{{{V_0}}})}^2}} $
$n_i = i$ т.к.
Цитата:
Пусть $n_i = i$ $(i = 0, 1, 2, ..., N)$ - число молекул в объеме $V$


Кроме того,
Цитата:
Множитель $P(n_i)$ можно найти как биномиальное распределение. То есть у нас есть $N$ молекул. Молекула либо может находиться в объеме $V$, либо не может. Вероятность того, что она находится в объеме $V$ равна $p = V/V_0$. Какова вероятность того, что $n_i = i$ молекул находятся в объеме $V$? Биномиальное распределение:
$$P({n_i}) = \frac{{N!}}{{i!(N - i)!}}{(\frac{V}{{{V_0}}})^i}{(1 - \frac{V}{{{V_0}}})^{N - i}}$$


Теперь посчитав сумму
$$\sum\limits_{i = 0}^N {P({n_i}){{(i - N\frac{V}{{{V_0}}})}^2}}$$
получим
$$\frac{N V \left(1-\frac{V^2}{\text{V0}^2}\right)^N \left(N V^3+\text{V0}^3\right)}{\text{V0}^2 (V+\text{V0})^2}$$

Т.к. среднее отклонение - это дисперсия под радикалом, то
$$\sqrt{\frac{N V \left(1-\frac{V^2}{\text{V0}^2}\right)^N \left(N V^3+\text{V0}^3\right)}{\text{V0}^2 (V+\text{V0})^2}}$$

Но ответ должен быть $N^{-1/2}(V_0/V - 1)^{1/2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение молекул в идеальном газе
Сообщение22.02.2014, 23:38 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
update. хотя вроде нормально. наверное, выражение надо причесать. а так идея по моему верная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение молекул в идеальном газе
Сообщение23.02.2014, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
kis в сообщении #829523 писал(а):
Посчитать сумму вручную я не пытался.

А задание-то, вроде бы, именно на это. А то вы "угадали" ответ, и выдаёте его за истину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение молекул в идеальном газе
Сообщение23.02.2014, 23:11 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Суммы таки посчитал) Довольно громоздкие выкладки, но если кому-то будет интересно - распишу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group