Распределение молекул в идеальном газе

[kis]

Скажите, пожалуйста, можно ли ответить на вопрос а) используя мат. ожидание (среднее по ансамблю)?

$$ < n > = \sum\limits_i {P({n_i}){n_i}} $$

Здесь $n_i$ - случайная дискретная величина, которую принимает переменная $n$, а $P(n_i)$ - вероятность появления этой величины.
Не понятно, что брать под $n_i$ в контексте данной задачи.

p.s. Интуитивно понятно, что на $<n> = N (V/V_0)$.

[Munin]

Да, именно так на этот вопрос и надо отвечать.
Поскольку $n$ - число молекул в под-объёме $V,$ то оно может принимать значения $\{0,1,\ldots,N\}.$ Проще всего перенумеровать их по порядку, $i=n,$ и суммировать по $i$ от 0 до $N.$

[kis]

Пусть $n_i = i$ $(i = 0, 1, 2, ..., N)$ - число молекул в объеме $V$. Тогда $P(n_i)$ - вероятность того, что в объеме $V$ находится $n_i = i$ молекул. $p = V/V_0$ - вероятность того, что данная молекула находится в объеме $V$. Значит, чтобы найти среднее число молекул в объеме $V$, нужно вычислить сумму

$$ < n > = \sum\limits_{n = 1}^N {P({n_i}){n_i}} = \sum\limits_{n = 1}^N {P({n_i})i} $$

Множитель $P(n_i)$ можно найти как биномиальное распределение. То есть у нас есть $N$ молекул. Молекула либо может находиться в объеме $V$, либо не может. Вероятность того, что она находится в объеме $V$ равна $p = V/V_0$. Какова вероятность того, что $n_i = i$ молекул находятся в объеме $V$? Биномиальное распределение:

$$P({n_i}) = \frac{{N!}}{{i!(N - i)!}}{(\frac{V}{{{V_0}}})^i}{(1 - \frac{V}{{{V_0}}})^{N - i}}$$

Если теперь вычислить сумму, учтя найденное выражение, то получится, что сумма равна $n(V_0/V)$.
Посчитать сумму вручную я не пытался.

[kis]

в б) (см. картинку в первом посте).

Среднее число молекул в объеме $V$ мы посчитали в а): $<n> = N (V/V_0)$, $N$ - число всех молекул, $V$ - объем части сосуда, $V_0$ - объем сосуда. По определению дисперсии
$ < \Delta {n^2} > = < {({n_i} - < n > )^2} > = < {(i - N\frac{V}{{{V_0}}})^2} > = \sum\limits_{i = 0}^N {P({n_i}){{(i - N\frac{V}{{{V_0}}})}^2}} $
$n_i = i$ т.к.

Цитата:

Пусть $n_i = i$ $(i = 0, 1, 2, ..., N)$ - число молекул в объеме $V$

Кроме того,

Цитата:

Множитель $P(n_i)$ можно найти как биномиальное распределение. То есть у нас есть $N$ молекул. Молекула либо может находиться в объеме $V$, либо не может. Вероятность того, что она находится в объеме $V$ равна $p = V/V_0$. Какова вероятность того, что $n_i = i$ молекул находятся в объеме $V$? Биномиальное распределение:

$$P({n_i}) = \frac{{N!}}{{i!(N - i)!}}{(\frac{V}{{{V_0}}})^i}{(1 - \frac{V}{{{V_0}}})^{N - i}}$$

Теперь посчитав сумму

$$\sum\limits_{i = 0}^N {P({n_i}){{(i - N\frac{V}{{{V_0}}})}^2}}$$

получим

$$\frac{N V \left(1-\frac{V^2}{\text{V0}^2}\right)^N \left(N V^3+\text{V0}^3\right)}{\text{V0}^2 (V+\text{V0})^2}$$

Т.к. среднее отклонение - это дисперсия под радикалом, то

$$\sqrt{\frac{N V \left(1-\frac{V^2}{\text{V0}^2}\right)^N \left(N V^3+\text{V0}^3\right)}{\text{V0}^2 (V+\text{V0})^2}}$$

Но ответ должен быть $N^{-1/2}(V_0/V - 1)^{1/2}$

[kis]

update. хотя вроде нормально. наверное, выражение надо причесать. а так идея по моему верная.

[Munin]

kis в сообщении #829523 писал(а):

Посчитать сумму вручную я не пытался.

А задание-то, вроде бы, именно на это. А то вы "угадали" ответ, и выдаёте его за истину.

[kis]

Суммы таки посчитал) Довольно громоздкие выкладки, но если кому-то будет интересно - распишу.