Соотношение теории нечетких множест и теории вероятностей

[arseniiv]

prof.uskov в сообщении #827927 писал(а):

Хорошо. Давайте рассуждать. Пусть имеется система с параметром а. Этот параметр нам точно неизвестен - имеется неопределенность. Как может быть описан параметр а?
1. Статистикой своих значений - статистическое описание.
2. Как случайная величина - стохастическое описание.
3. Как нечеткая величина (число) - нечеткое описание.
4. Интервалом или отрезком, которому принадлежит данный параметр - интервальное описание.
Какие еще есть варианты? И как они соотносятся между собой?

Да как угодно. Графом, например (интерпретация найдётся). Почему вы думаете, что 1—4 — взаимоисключающие случаи?

Кстати, можно рассматривать случайные величины со значениями-отрезками или набор нечётких множеств случайных величин. И раз уж применение есть у тех, найдётся и для этих. Свободный моноид $\langle1,2,3,4\rangle$ в качестве классификации ничуть не хуже.

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #828086 писал(а):

prof.uskov в сообщении #827927 писал(а):

Хорошо. Давайте рассуждать. Пусть имеется система с параметром а. Этот параметр нам точно неизвестен - имеется неопределенность. Как может быть описан параметр а?
1. Статистикой своих значений - статистическое описание.
2. Как случайная величина - стохастическое описание.
3. Как нечеткая величина (число) - нечеткое описание.
4. Интервалом или отрезком, которому принадлежит данный параметр - интервальное описание.
Какие еще есть варианты? И как они соотносятся между собой?

Почему вы думаете, что 1—4 — взаимоисключающие случаи?
Кстати, можно рассматривать случайные величины со значениями-отрезками или набор нечётких множеств случайных величин.

А где я говорил, что они взаимоисключающие, они пересекаются, а интервальное - вообще частный случай, но они - первичные, а дальше можно их комбинировать как угодно, хочется случайную величину с нечетким математическим ожиданием и интервальной дисперсией - пожалуйста. Могут быть и кратные сочетания, например, нечеткая величина, параметр функции принадлежности которой тоже нечеткая величина. Все это описано в литературе и вписывается в схему.

Сейчас над идеей Руста размышляю, над описанием, которое 1-4 включает как подмножества.

[prof.uskov]

vicvolf в сообщении #828055 писал(а):

vicvolf в сообщении #827888 писал(а):

prof.uskov в сообщении #827174 писал(а):

Если верить Вощинину А.П.
и его книге "Оптимизация в условиях неопределенности", то всего способов формального описания в условиях неопределенности четыре: стохастический, статистический (эти два относятся к ТВ), интервальный и нечеткий. Так что вариантов не так много.

А куда в этой классификации относится принятие решений при задании предпочтений?

Я не получил ответ на свой вопрос? Пожалуйста, поясните.

А там есть неопределенность значения параметров?

[vicvolf]

prof.uskov в сообщении #828126 писал(а):

А куда в этой классификации относится принятие решений при задании предпочтений?

Цитата:

А там есть неопределенность значения параметров?

Целевая функция многих дискретных переменных вообще не известна, а вместо нее задано отношение предпочтения по каждой переменной.

[PSP]

Как-то занимался этим вопросом.
Пришёл к выводу,что и теория нечетких множеств и теория вероятностей - такие области математики,где определённым образом отказываются от аксиомы выбора, либо обобщают её.

[arseniiv]

Аксиома выбора-то при чём?

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #827741 писал(а):

Прекрасно, если так.

prof.uskov в сообщении #827699 писал(а):

Напишите свою классификации

Хотелось бы сначала посмотреть доказательство того, что эта классификация правильная, а именно, что других способов описания нет, и что приведённые способы определяются так, чтобы каждое описание подходило только к какому-то одному.

А что значит правильная классификация? На практике часто используются "неправильные" классификации, точнее они в основном в повседневной жизни и используются. Например, человек с нормальным зрением различает тысячи, если не миллионы цветов и оттенков, но неспециалисты используют в разговорной речи лишь несколько десятков названий цветов и, обычно, отлично понимают друг друга. Так что нечеткая классификация в сложных системах более естественна, чем "правильная".

[PSP]

arseniiv в сообщении #829173 писал(а):

Аксиома выбора-то при чём?

Попробуйте упорядочить нечёткое множество и поймёте...

[arseniiv]

PSP в сообщении #829277 писал(а):

Попробуйте упорядочить нечёткое множество и поймёте...

Нечёткое множество — это пара из обычного множества и функции принадлежности. Не вижу проблем упорядочить конечное множество. Упорядоченная пара — это именно такое. Если пары недостаточно, само то множество и функция принадлежности, которая тоже множество, упорядочиваются или не упорядочиваются независимо от «нечёткости», как обычные другие множества.

prof.uskov в сообщении #829259 писал(а):

Например, человек с нормальным зрением различает тысячи, если не миллионы цветов и оттенков, но неспециалисты используют в разговорной речи лишь несколько десятков названий цветов и, обычно, отлично понимают друг друга. Так что нечеткая классификация в сложных системах более естественна, чем "правильная".

Разумеется, у человека в голове не поместится анализатор миллионов цветов. («Отлично понимают» опустим. Обычно людям не нужно детально описать цвет. Когда это нужно, слов естественных языков становится всё-таки мало.) Но такими аналогиями можно прийти не туда.

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #829279 писал(а):

Разумеется, у человека в голове не поместится анализатор миллионов цветов. («Отлично понимают» опустим. Обычно людям не нужно детально описать цвет. Когда это нужно, слов естественных языков становится всё-таки мало.) Но такими аналогиями можно прийти не туда.

А почему Вы реши, что нужна лучшая классификация методов описания неопределенности, чем та, что я приводил?

[vicvolf]

prof.uskov в сообщении #829259 писал(а):

На практике часто используются "неправильные" классификации, точнее они в основном в повседневной жизни и используются. Например, человек с нормальным зрением различает тысячи, если не миллионы цветов и оттенков, но неспециалисты используют в разговорной речи лишь несколько десятков названий цветов и, обычно, отлично понимают друг друга. Так что нечеткая классификация в сложных системах более естественна, чем "правильная".

Все верно. Но нужна полнота классификации, чтобы ничего не было упущено. В этой связи вопрос - входит ли в Вашу классификацию указанная мною ранее задача, когда целевая функция многих дискретных переменных и, возможно, ограничения не известны, а заданы только отношения предпочтения по каждой переменной?

[prof.uskov]

vicvolf в сообщении #829382 писал(а):

Все верно. Но нужна полнота классификации, чтобы ничего не было упущено. В этой связи вопрос - входит ли в Вашу классификацию указанная мною ранее задача, когда целевая функция многих дискретных переменных и, возможно, ограничения не известны, а заданы только отношения предпочтения по каждой переменной?

В приведенной классификации рассматривается только случай неопределенности в значении переменной. У Вас все же другой случай, можно ли свести его к указанным четырем, я так сходу ответить не могу.

[epros]

По прочтении этой ветки я так и не понял сути вопроса, на который хочет получить ответ ТС. Если подходить чисто формально, то из трех вариантов в стартовом посте правильным является первый: Ибо это именно разные способы описания неопределенности. И что? Суть-то, наверное, в том, чтобы выяснить, насколько тот или иной подход полезен и для чего? Или нет?

Вообще-то теория нечетких множеств – это порядочная чушь, хотя и изрядно разрекламированная. Поясню почему. Эта штука непосредственно связана с т.н. «нечеткой логикой» – примерно в том же смысле, в котором традиционная теория множеств связана с традиционной логикой. Т.е. объединению множеств соответствует дизъюнкция, а пересечению – конъюнкция и т.п. Так вот, в этой, прости хосподи, «логике» отсутствует закон непротиворечия. Нужно ли объяснять почему это категорически плохо?

Теория же вероятности не претендует на гордое звание «логики» по одной простой причине, которую упоминал Xaositect: Вероятность конъюнкции не определяется однозначно через вероятности аргументов, ибо характер их зависимости тоже имеет значение. Насколько я знаю, какую бы то ни было «нечеткую» логику (в смысле наличия в ней однозначных формул для всех логических связок), содержащую закон непротиворечия, построить невозможно.

[prof.uskov]

epros в сообщении #829497 писал(а):

По прочтении этой ветки я так и не понял сути вопроса, на который хочет получить ответ ТС. Если подходить чисто формально, то из трех вариантов в стартовом посте правильным является первый: Ибо это именно разные способы описания неопределенности. И что? Суть-то, наверное, в том, чтобы выяснить, насколько тот или иной подход полезен и для чего? Или нет?

Теория нечетких множеств (ТНМ), обычно, используется для решения двух проблем.
1. Построение экспертных систем и нечетких регуляторов, здесь имеется база знаний в виде набора нечетких продукционных правил и с помощью алгоритма нечеткого вывода определяется значение выхода экспертной системы или нечеткого регулятора - такое применение особых вопросов не вызывает и используется повсеместно.
2. Описание систем в условиях неопределенности. Имеется система (например, сетевой график, САУ и т.п.) ряд параметров которой точно неизвестны, а по сути случайны, но распределение может быть точно неизвестно и нестационарно, т.е. случай может быть очень сложным.
Если использовать методы ТВ и МС, то, в общем случае, здесь помогает только имитационное моделирование. Но там свои сложности, о которых писать можно долго. Вот и заменяют случайные величины на нечеткие, после чего анализ системы становится значительно проще.
Вопрос у меня о корректности такой замены. Если вдруг оказывается, что ТВ входит в ТНМ, или ТНМ входит в ТВ, или ТНМ и ТВ являются составной частью чего-то более общего, то это как бы подводит к обоснованию такой замены и остается только сформулировать условия ее корректности. Как-то так...

[epros]

Да я знаю для чего применяется ТНМ, сам этими вещами в свое время занимался.

prof.uskov в сообщении #829608 писал(а):

Но там свои сложности, о которых писать можно долго. Вот и заменяют случайные величины на нечеткие, после чего анализ системы становится значительно проще.
Вопрос у меня о корректности такой замены.

На самом деле никакого вопроса корректности замены тут возникать не должно. Альтернатива здесь достаточно простая: Либо достаточно сложное, зато более или менее корректное в смысле статистической интерпретации решение (ибо ТВ построена таким образом, чтобы в ней имел место закон больших чисел), либо сильно приблизительное «упрощение», про которое нельзя сказать с уверенностью в какой момент оно может нас подвести.

По мне, если вероятностное решение окажется слишком сложным, лучше уж применить традиционные методы приближённых решений, пренебрегая ровно тем, чем можно безопасно пренебречь, чем использовать изначально «испорченную» теорию. А теория, не признающая закон непротиворечия, является именно «испорченной» изначально: хотя бы потому, что из неё можно сделать совершенно любые выводы (включая прямо противоположные).