Изотропный тензор

[Ascold]

Почему выражается исключительно через метрику и символ Леви-Чивиты? Где почитать док-во этого утверждения, понятное для физика, с теорией групп знакомого слабо?

[type2b]

Для $SO(3)$ это совсем просто. Пусть мы доказали, что для тензоров ранга не более $j-1$ нету инвариантных, кроме дельта-символа и Леви-Чивиты. Посмотрим на тензор ранга $j$. По каждой паре индексов наш тензор можно разложить на симметричный и антисимметричный. Антисимметричную часть с помощью символа Леви-Чивиты можно превратить в тензор ранга на единицу меньше, так что достаточно смотреть на симметричную часть. Выкинем также из нее трейсы. Получился симметричный бесследовый тензор. Пространство таких тензоров $(2j+1)$-мерно, и соответствуют они неприводимым представлениям спина $j$, так что инвариантных тензоров среди них нет.

Для $SO(n)$ можно действовать так же, только симметрию тензоров надо индексировать диаграммами Юнга. Все такие допустимые диаграммы (т.е. бесследовые тензоры с заданной симметрией) соответствуют нетривиальным неприводимым представлениям группы, с известным весом.

[svv]

Почитайте в книге Германа Вейля «Классические группы, их инварианты и представления».
Глава II «Векторные инварианты».
Параграфы (особенно) 2,3,4,5,9.

Несмотря на название книги, доказательство там скорее алгебраическое. Как и у type2b, по индукции, тоже с разделением симметричной и антисимметричной части. Вообще, Вейль пишет «по-старому», и его можно понять.