2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Изотропный тензор
Сообщение20.02.2014, 21:32 
Почему выражается исключительно через метрику и символ Леви-Чивиты? Где почитать док-во этого утверждения, понятное для физика, с теорией групп знакомого слабо?

 
 
 
 Re: Изотропный тензор
Сообщение21.02.2014, 05:02 
Для $SO(3)$ это совсем просто. Пусть мы доказали, что для тензоров ранга не более $j-1$ нету инвариантных, кроме дельта-символа и Леви-Чивиты. Посмотрим на тензор ранга $j$. По каждой паре индексов наш тензор можно разложить на симметричный и антисимметричный. Антисимметричную часть с помощью символа Леви-Чивиты можно превратить в тензор ранга на единицу меньше, так что достаточно смотреть на симметричную часть. Выкинем также из нее трейсы. Получился симметричный бесследовый тензор. Пространство таких тензоров $(2j+1)$-мерно, и соответствуют они неприводимым представлениям спина $j$, так что инвариантных тензоров среди них нет.

Для $SO(n)$ можно действовать так же, только симметрию тензоров надо индексировать диаграммами Юнга. Все такие допустимые диаграммы (т.е. бесследовые тензоры с заданной симметрией) соответствуют нетривиальным неприводимым представлениям группы, с известным весом.

 
 
 
 Re: Изотропный тензор
Сообщение21.02.2014, 13:09 
Аватара пользователя
Почитайте в книге Германа Вейля «Классические группы, их инварианты и представления».
Глава II «Векторные инварианты».
Параграфы (особенно) 2,3,4,5,9.

Несмотря на название книги, доказательство там скорее алгебраическое. Как и у type2b, по индукции, тоже с разделением симметричной и антисимметричной части. Вообще, Вейль пишет «по-старому», и его можно понять.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group