ошибки у Фихтенгольца

[Jukier]

sergei1961, нашел том 1 1962 г. (издание 5-е), том 2 1970 г. (издание 7-е), том 3 1966 г. (издание 6-е). Прижизненные издания пока не нашел. Проверил выборочно замеченные опечатки - все на месте. Кстати, во втором томе их более 300. Будет время - "оцифрую" весь список.

[Jukier]

Оцифровал опечатки и ошибки по всем трем томам. Действительно, столкнулся с тем, что часть опечаток в предыдущих изданиях отсутствовала.

[sergei1961]

К сожалению, вот только увидел пост. Но ссылка на ошибки у меня не открывается. Просьба-выложите в более доступном месте, или по почте?

[Jukier]

sergei1961 в сообщении #829119 писал(а):

К сожалению, вот только увидел пост. Но ссылка на ошибки у меня не открывается. Просьба-выложите в более доступном месте, или по почте?

Странно, ссылка на диск Google. Выложил у себя в университете.

[sergei1961]

Труд большой, спасибо. Буду спокойно сравнивать по имеющемуся советскому варианту. Последним изданиям меньше доверия-там, похоже, редакторы уже самовыражались, а не старались сохранить текст и просто исправить неточности.

Всё это не меняет моего отношения к этому учебнику-я считаю его великим, во всяком случае очень хорошим во всём, кроме обоснования многомерного анализа. Число найденных Вами опечаток удивляет. Буду разбираться.

[V_I_Sushkov]

Самая первая и самая грубая и самая принципиальная ошибка Фихтенгольца - утверждение об инвариантности первого дифференциала и не инвариантности старших дифференциалов.
Последнее можно видеть в пункте 120 на стр. 242 тома 1 (издание 1962 года).
Утверждения, что формулы второго и следующих дифференциалов функции $f(x)$ будто бы зависят от того, является ли x функцией, пошли в России, как мне кажется, от Фихтенгольца, хотя сама идея заменить в формуле дифференциала букву дельта на букву $d$ в зависимости от того, является ли $x$ функцией, имеется у Коши.
Ту же нелепость повторили В.И. Смирнов (оговорившись про случай линейной функции $x=at$), Ильин и Позняк, Шилов, Кудрявцев и практически все остальные авторы учебников для ВТУЗов.
Предшественником Фихтенгольца, возможно, был Курант (по слухам), но я не нашел.
У Гурса всё еще в пределах здравого смысла.
Трудно вообразить масштабы хаоса, который был создан в головах студентов.
Это же 60 лет, сотни тысяч и миллионы человек!
Подробно это было разобрано, описано и опубликовано мной здесь
http://www.spbstu.ru/publications/m_v/N ... 5.html#top
и здесь
http://www.za-nauku.ru//index.php?optio ... &Itemid=31
На днях пытался поместить такие сообщения в википедию - получил оскорбления, уничтожение моих текстов и угрозы бана.
Сюда поместил просто потому, что наткнулся на эту тему.

Lia: оформляйте формулы в соответствии с правилами форума. Исправлено.

[V_I_Sushkov]

A) Lia, спасибо за помощь в редактировании формул. Постараюсь больше не доставлять Вам хлопот в этом деле.

B) Тема чрезвычайно важна для всего математического образования в России. Надеюсь, топикстартёр при желании сможет связаться со мной, используя указанные выше адреса моих выступлений. Преподавание математики надо исправлять и развивать, оно замерло на одном месте лет тридцать назад.

C) Изложу малую, но важную часть моих выступлений (см. выше) по этой теме.

Рассмотрим две группы формул дифференциалов функций одной переменной:

1) формулы дифференциалов из определения

$$df = f^{(1)} (x) \Delta x, d^{2} f = f^{(2)}(x)\Delta x^2,...d^{n}f = f^{(n)}(x)\Delta x^n,...$$

2) Формулы дифференциалов сложной функции (суперпозиции двух функций)

$$ df = f^{(1)}(x)\dx, d^{2} f = f^{(2)}(x) dx^2 + f^{(1)}(x) d^2x, d^{3}f = f^{(3)}(x) dx^3 + 3 f^{(2)}(x) dx d^2x + f^{(1)}(x) d^3x,...$$

Обе эти группы формул применяются и в случае "икс - независимая переменная" и в случае "икс - функция".
(С оговоркой, что слова "икс - независимая переменная" следовало бы заменить словами "икс и его приращение - первичные переменные" и так оно и будет в недалеком будущем нашего преподавания).
То есть всего мы имеем четыре случая применения этих формул,
но когда "икс - независимая переменная" обе группы формул совпадают и потому
мы имеем ТРИ разных случая применения всех этих формул.

Декларируя правило (идущее от Коши) писать в первой группе формул $dx$ вместо $\Delta x$, авторы советских учебников вслед за Фихтенгольцем "обосновывают" его рассуждением такого рода: мы в случае "икс - свободная переменная" под $dx$ будем понимать приращение икса (и не только понимать, но и называть его "дифференциалом свободной переменной").
А поскольку икс может быть либо "свободной переменной", либо функцией, сторонникам этого правила кажется, будто это правило охватывает все случаи применения формул. - Нет, не все, а только два из трёх!

Такое правило приводит к выведению из употребления того случая (из трёх), когда в формулах первой группы $x$ и $\Delta x$ - функция и ее приращение.

То есть в наших вычислениях роль первичных переменных игрют не только "свободные переменные" (в смысле Фихтенгольца) но и функции.

И сам Фихтенгольц такое употребление формул первой группы демонстрирует в примерах вычисления пределов функций. То есть противоречит самому себе.

Спасая от ликвидации это правило, авторы учебников создают неверные и даже бессмысленные "доказательства" того, что первую группу формул якобы нельзя использовать, когда $x$ и $\Delta x$ - функция и ее приращение. Одно из них можно видеть у Фихтенгольца на стр. 242 тома 1 (издание 1962 г.)

Они приписывают формулам из первой группы свойство, которого у них нет и быть не может: зависеть от того, откуда мы взяли числа $x$ и $\Delta x$ - сами мы их придумали или нет, подвергли ли мы величину икса изменению непосредственно или через изменение какой-то другой переменной, от которой икс зависит.

Очевидно, что Коши придумывал это правило с целью оправдать Лейбницевские обозначения производных, противоречащие Лагранжеву пониманию дифференциалов.
Видимо, такой же была причина этой ошибки у советских авторов.
Коши не знал, что в рамках вещественных чисел это сделать невозможно, потому что у Лейбница дифференциалы в обозначениях производных и интегралов - бесконечно малые числа (именно числа), а у Лагранжа - нет. Его мы должны извинить.
Но вот многих из советских авторов извинить уже труднее, потому что они должны были знать о теории гипервещественных чисел (1960-е годы), в которой бесконечно малые числа Лейбница реализованы аккуратно.
Коме того, ничто не мешало им видеть неверность их доказательств "не инвариантности" старших дифференциалов.

[Oleg Zubelevich]

V_I_Sushkov в сообщении #874768 писал(а):

Самая первая и самая грубая и самая принципиальная ошибка Фихтенгольца - утверждение об инвариантности первого дифференциала и не инвариантности старших дифференциалов.

в том смыле, в каком инвариантность понимает Фихтенгольц ( и в каком ее понимают в учебниках по диф. гему, кстати, неинвариантность старших производных отмечается и у Дубровина Новикова Фоменко), первый дифференциал действительно инвариантен, а последующие -- нет. Однако, старшим производным тоже можно придать инвариантный смысл и это хорошо известно, см. Колмогоров-Фомин ,например. А , вообще , учебниу Фихтенгольца уже давно не актуален в системе преподавания, если только, как текст в котором разобрано большое количество задач.

[V_I_Sushkov]

Oleg Zubelevich в сообщении #874901 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #874768 писал(а):

Самая первая и самая грубая и самая принципиальная ошибка Фихтенгольца - утверждение об инвариантности первого дифференциала и не инвариантности старших дифференциалов.

в том смыле, в каком инвариантность понимает Фихтенгольц <...> первый дифференциал действительно инвариантен, а последующие -- нет. <...> А , вообще , учебниу Фихтенгольца уже давно не актуален в системе преподавания, если только, как текст в котором разобрано большое количество задач.

1) Прекрасно. А теперь дайте, пожалуйста, чёткую формулировку этого понятия (по Фихтенгольцу) и доказательство того, что второй дифференциал не инвариантен в смысле Фихтенгольца. Ибо сам он не смог сделать ни первого ни второго.
2) Я преподаю 41-й год и свидетельствую, что Вы не правы в оценке актуальности учебника Фихтенгольца.
Актуален как никогда ранее.

[Oleg Zubelevich]

V_I_Sushkov в сообщении #874904 писал(а):

А теперь дайте, пожалуйста, чёткую формулировку этого понятия (по Фихтенгольцу)

в другом месте:


Говоря современным языком, Фихтенгольц показывает, что при замене координат , первый дифференциал преобразуется как ковариантный тензор. Дифференциалы второго порядка и далее тензором не являются, что тоже хорошо известно.

V_I_Sushkov в сообщении #874904 писал(а):

Я преподаю 41-й год и свидетельствую, что Вы не правы в оценке актуальности учебника Фихтенгольца.
Актуален как никогда ранее.

Ну это Ваша точка зрения, а факты выглядят иначе. По Фихтенгольцу не учатся ни в МАИ, ни на ФИЗТЕХЕ, ни в МГУ, ни в РУДН. Уверен, что и в Бауманке не учатся. Кстаи сказать, со времен Фихтенгольца написано много хороших учебников анализа: Зорич, Никольский. Не думаю, вообще, что Вы сейчас найдете серьезный ВУЗ в котором лекции читаются по мотивам Фихтенгольца

[V_I_Sushkov]

Oleg Zubelevich в сообщении #874925 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #874904 писал(а):

А теперь дайте, пожалуйста, чёткую формулировку этого понятия (по Фихтенгольцу)

<...картинку изъял... Сушков В.И.>
в другом месте:
<...картинку изъял... Сушков В.И.>
Говоря современным языком, Фихтенгольц показывает, что при замене координат , первый дифференциал преобразуется как ковариантный тензор. Дифференциалы второго порядка и далее тензором не являются, что тоже хорошо известно.

Нет, не уводите обсуждение в сторону тензоров. Это преждевременно.
Вопрос лежит уровнем ниже.
Жаль, что Вы дали цитату из раздела функций нескольких переменных, это загромоздит разговор ненужными деталями.
Но даже и здесь видно: Фихтенгольц оперирует понятием "форма дифференциала", но не объясняет, что это такое.
Если он имеет в виду структуру второго дифференциала (как функции удвоенного числа аргументов), то ведь в случае $y = f(x(t))$ она та же самая, что и в случае $y = f(x)$: произведение второй производной на квадрат приращения аргумента.
О какой "не инвариантности формы второго дифференциала" тогда можно говорить?

Я прошу Вас оставаться в рамках поставленного мной вопроса: инвариантность и не инвариантность дифференциалов функции одного (вещественного) аргумента.

Итак, конкретный вопрос к Вам: что Фихтенгольц называет "формой дифференциала" и если это то же самое, что структура функции, то на каком основании он заявляет, что второй дифференциал её меняет?

Oleg Zubelevich в сообщении #874925 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #874904 писал(а):

Я преподаю 41-й год и свидетельствую, что Вы не правы в оценке актуальности учебника Фихтенгольца.
Актуален как никогда ранее.

Ну это Ваша точка зрения, а факты выглядят иначе. По Фихтенгольцу не учатся ни в МАИ, ни на ФИЗТЕХЕ, ни в МГУ, ни в РУДН. Уверен, что и в Бауманке не учатся. Кстаи сказать, со времен Фихтенгольца написано много хороших учебников анализа: Зорич, Никольский. Не думаю, вообще, что Вы сейчас найдете серьезный ВУЗ в котором лекции читаются по мотивам Фихтенгольца

1) По мотивам Фихтенгольца люди, как минимум, ведут практику. А без практики лекции не усваиваются.
2) Зорич и Никольский чем-то отличаются от Фихтенгольца в обсуждаемом вопросе? они определяют дифференциал не по Лагранжу?
3) Не вижу причин считать серьезным ВУЗ, в котором полностью игнорируют Фихтенгольца.

[ewert]

Jukier в сообщении #829127 писал(а):

Выложил у себя в университете.

Список замеченных опечаток (по 1-му тому).

25 (с.236): правильно именно у Фихтенгольца ($\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta x\cdot\sin\dfrac1{\Delta x}$). Зато там чуть ниже другая ошибка (уже после потери штриха): при $2>\alpha>1$ потерян модуль.

33 (с.288): правильнее скорее "Шлемильха", т.к. буква "ё" в тексте не употребляется. Однако допустимо и "Шлёмильха", это дело вкуса. Скажем, Шредингера редко называют Шрёдингером, хотя последнее время всё чаще.

43 (с.321): никаких двоеточий, это даже и по размерности не сходится (не говоря уж о том, что просто неверно). Фихтенгольц просто приводит здесь альтернативное решение, откуда и "прежнее значение".

53 (с.349): наоборот, явная опечатка именно в тексте, на графике же всё верно (нигде более асимптоты большими буквами не обозначаются)

151 (с.671): называть Бернулли Иоганном -- это сравнительно новая мода, раньше же его звали именно Иоанном

[Oleg Zubelevich]

V_I_Sushkov в сообщении #874938 писал(а):

Итак, конкретный вопрос к Вам: что Фихтенгольц называет "формой дифференциала" и если это то же самое, что структура функции, то на каком основании он заявляет, что второй дифференциал её меняет?

вообще-то я это уже объяснил и ссылку дал. Вы просто можете правильно понимать, что там написано, а можете неправильно понимать. Это Ваш свободный выбор.

V_I_Sushkov в сообщении #874938 писал(а):

Зорич и Никольский чем-то отличаются от Фихтенгольца в обсуждаемом вопросе?

Никольского я помню хуже, а Зорич определяет дифференциал в тех терминах, которые приняты в современной математике, и это, конечно, принципиально отличается от учебника Фихтенгольца. (В этом вся и проблема, Фихтенгольц написан на языке 19 века, этот учебник просто элементарно устарел)

V_I_Sushkov в сообщении #874938 писал(а):

Не вижу причин считать серьезным ВУЗ, в котором полностью игнорируют Фихтенгольца.

ну не считайте перечисленные мной вузы приличными

[V_I_Sushkov]

Oleg Zubelevich в сообщении #874958 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #874938 писал(а):

Итак, конкретный вопрос к Вам: что Фихтенгольц называет "формой дифференциала" и если это то же самое, что структура функции, то на каком основании он заявляет, что второй дифференциал её меняет?

вообще-то я это уже объяснил и ссылку дал. Вы просто можете правильно понимать, что там написано, а можете неправильно понимать. Это Ваш свободный выбор.

1) Я обратил Ваше внимание на то, что Фихтенгольц пишет о сохранении или не сохранении формы дифференциала, а что он называет "формой дифференциала" - ясно не пишет.
Я просил Вас дать ссылку на такие слова у Фихтенгольца, если Вы их видели. Я их не видел.
Речь, повторяю,, шла о наличии или отсутствии у Фихтенгольца таких слов.
Т.е. это вопрос о существовании: существуют или нет такие слова у Фихтенгольца.
Вместо чтобы ответить "нет, не существуют", или "да, существуют там-то" - Вы пишете мне, что я "могу понимать правильно или неправильно по моему желанию".
Насколько я понимаю Правила форума, Вы только что нарушили п.3.3. и п. 3.4.

Oleg Zubelevich в сообщении #874958 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #874938 писал(а):

Зорич и Никольский чем-то отличаются от Фихтенгольца в обсуждаемом вопросе?

Никольского я помню хуже, а Зорич определяет дифференциал в тех терминах, которые приняты в современной математике, и это, конечно, принципиально отличается от учебника Фихтенгольца. <...>

Вот сейчас смотрю на экране Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. 1997 год.
Страница 176 и 177.
Зорич дает определение дифференциала, как и следовало ожидать, по Лагранжу.
В точности то же самое делает и Фихтенгольц на стр. 211 - 212 том первый издание 1962 года.
Зачем же Вы здесь мне неправду написали?

Oleg Zubelevich в сообщении #874958 писал(а):

(В этом вся и проблема, Фихтенгольц написан на языке 19 века, этот учебник просто элементарно устарел)

В чём именно он устарел?
Процитируйте, пожалуйста, фрагменты на языке XIX века.

Oleg Zubelevich в сообщении #874958 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #874938 писал(а):

Не вижу причин считать серьезным ВУЗ, в котором полностью игнорируют Фихтенгольца.

ну не считайте перечисленные мной вузы приличными

Я не буду этого делать, потому что сообщение о плохом отношении к учебнику Фихтенгольца в этих ВУЗах вижу впервые в жизни, и, главное, я получил его от Вас.
А Вы, как оказалось, способны сообщать неправду (доказательство выше - Вы сообщили неправду об изложении понятия "дифференциал" в учебниках Зорича и Фихтенгольца).
Потому подожду.

Я прошу Вас, если Вы желаете со мной продолжать обсуждение, сначала ознакомиться с моими двумя публикациями на эту тему (две ссылки есть в моем посте чуть выше в этой теме).
После этого я отвечу на Ваши возражения ПО СУЩЕСТВУ вопроса, если они найдутся у Вас.
(Но только по существу вопроса!)
В данный момент, насколько я могу видеть, Вы моих выступлений не читали.
Доказательство: если бы Вы их читали, Вы бы видели, что все нужные цитаты из учебников я там уже привел.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #874925 писал(а):

Дифференциалы второго порядка и далее тензором не являются, что тоже хорошо известно.

Дифференциалы высших порядков (функций многих переменных) в Зориче вообще не вводятся до главы "Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения". А в ней дано определение, согласно которому дифференциал $n$-го порядка (он же $n$-я производная) $f^{(n)}(x)\in\mathcal{L}(X^n;Y)$ - то есть, как я понимаю, всё-таки тензор. Не поясните ли этот момент? И второе, не укажете ли, где в Зориче сформулировано утверждение, о котором вы говорите?

-- 13.06.2014 18:26:54 --

P. S. Определения производной одной переменной, дифференциала одной переменной, дифференциала многих переменных в Фихтенгольце и Зориче совпадают (с точностью до смысла), и проблема только в более сумбурных формулировках, как я понимаю: в Зориче ясно сказано, что $A\cdot(x-a)$ - это функция (очевидно, двух переменных), а в Фихтенгольце говорится про "выражение, которое представляет линейную функцию".

Ещё, в Фихтенгольце явно и отдельно формулируется понятие дифференциала независимой переменной, а в Зориче - нет. Видимо, $dx^\imath$ следует понимать как $d(x^\imath(x)).$

-- 13.06.2014 18:32:37 --

(Оффтоп)

V_I_Sushkov в сообщении #874979 писал(а):

В данный момент, насколько я могу видеть, Вы моих выступлений не читали.

А никто и не обязан. Hic Rhodus, hic salta.