Вы берёте периодическую функцию и суммируете её с самой собой, только сдвинутой. Что может случиться с периодом?
Не изменится, чисто умозрительно. И так суммируем много раз значит.
Другой вопрос тогда. К примеру для простого числа 7 период равен 16, не буду говорить что для всех

. Но и сумма 16 первых чисел последовательности по модулю даёт число нуль. Далее всё повторяется, как и для чисел последовательности. Легко ли или сложно показать это равенство нулю? На странице Вики
http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_sequence есть выражения

для

c нуля до шести. Если принять

и начать складывать эти выражения, то для

- суммы 16 первых чисел последовательности получим многочлен с различными степенями

. Так вот коэффициенты при этих степенях по модулю числа

не равны нулю, но если подставить например вместо

число

, то получится нуль по модулю. И подобное наблюдается для различных простых чисел, не только для

.