Последовательности Люка по модулю числа

[yk2ru]

Последовательности Люка периодичны по модулю простого числа $p$, да и не простого наверное также.
В случае простого числа вроде бы период останется тем же, если брать по модулю последовательные суммы чисел последовательности - одного, двух, трёх первых и так далее.
Это так или не так?
Про не простые числа пока вопрос не стоит, хотя наверное можно рассмотреть.

[ИСН]

Вы берёте периодическую функцию и суммируете её с самой собой, только сдвинутой. Что может случиться с периодом?

[yk2ru]

ИСН в сообщении #827386 писал(а):

Вы берёте периодическую функцию и суммируете её с самой собой, только сдвинутой. Что может случиться с периодом?

Не изменится, чисто умозрительно. И так суммируем много раз значит.

Другой вопрос тогда. К примеру для простого числа 7 период равен 16, не буду говорить что для всех $(P,Q)$. Но и сумма 16 первых чисел последовательности по модулю даёт число нуль. Далее всё повторяется, как и для чисел последовательности. Легко ли или сложно показать это равенство нулю? На странице Вики http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_sequence есть выражения $U_{n}(P,Q), V_{n}(P,Q)$ для $n$ c нуля до шести. Если принять $Q=-1$ и начать складывать эти выражения, то для $S_{15}$ - суммы 16 первых чисел последовательности получим многочлен с различными степенями $P$. Так вот коэффициенты при этих степенях по модулю числа $7$ не равны нулю, но если подставить например вместо $P$ число $3$, то получится нуль по модулю. И подобное наблюдается для различных простых чисел, не только для $7$.

[iifat]

А разве тут суммы? Тут, скорее, $\int_0^x f(x)dx$ от периодической функции. А он, как понимаю, может быть как периодическим, так и нет, в зависимости от интеграла по периоду.

[yk2ru]

Если $Q=-1$.
Из $V_{n+1}=PV_n+V_{n-1}$ можно записать
$V_{n+1}=P(V_n+V_{n-2}+...+V_{n-k+3}+V_{n-k+1})+V_{n-k}$.
И если $V_{n+1}$ и $V_{n-k}$ равны по модулю простого числа $n$ и $P$ не делится на это число $n$, то сумма в скобках равна по модулю нулю. В скобках индекс идёт через один. Но также
$V_n=P(V_{n-1}+V_{n-3}+...+V_{n-k+2}+V_{n-k})+V_{n-k-1}$.
И тут сумма в скобках равна нулю по модулю. Просуммировав выражения в скобках получим сумму, где индекс меняется уже непрерывно, сумма двух нулей даст нуль.