Цилиндр катится без скольжения (ускорение точки)

[Seergey]

Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости, так что его центр движется с постоянным ускорением $\vec{a}$. Радиус цилиндра равен R. Найти тангенциальное ускорение точки B.



Пусть начало ск находится на прямой по которой движется центр цилиндра. Поскольку цилиндр катится без проскальзывания, то скорость нижней точки $\vec{v_0}=\vec{v_c}+[\vec{\omega}, \vec{r}_{oc}]=0$, значит $\vec{v_c}=at=[\vec{\omega}, \vec{r}_{oc}]=\omega R, \vec{a_c}=a=\frac{\partial [\vec{\omega} \vec{r}_{oc}]}{\partial t}=[\frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t}, \vec{r}_{oc}]$ ($\vec{r}_{oc}$=const)

Тогда скорость точки B есть
$\vec{v_b}=\vec{v_c}+[\vec{\omega}, \vec{r}_{bc}]=v_c \vec{i}+[\omega (-\vec{k}), r_{bc} \vec{i}]=v_c \vec{i}+\omega r_{bc}[ -\vec{k}, \vec{i}]=v_c \vec{i}+v_c (\vec{-j})=\sqrt{2}at$

Что бы найти ускорение в точке B надо дифференцировать вектор скорости
$\vec{a_b}=\frac{\partial \vec{v_b}}{\partial t}=\frac{\partial (\vec{v_c}+[\vec{\omega}, \vec{r}_{bc}])}{\partial t}=\vec{a_c}+\frac{\partial [\vec{\omega}, \vec{r}_{bc}]}{\partial t}=\vec{a_c}+[\frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t}, \vec{r}_{bc}]+[\vec{\omega},\frac{\partial \vec{r}_{bc}}{\partial t}]=a_c \vec{i}+[\frac{\partial (\omega(t)(-\vec{k}))}{\partial t}, R \vec{i}]+[\omega (-\vec{k}),R\frac{\partial \vec{i}}{\partial t}]=a_c \vec{i}+[\frac{\partial \omega(t)}{\partial t}(-\vec{k})+\omega(t) \frac{\partial(-\vec{k})}{\partial t}, R \vec{i}]+\omega R [(-\vec{k}),\frac{\partial \vec{i}}{\partial t}]=a_c \vec{i}+[\frac{\partial \omega(t)}{\partial t}(-\vec{k}),R \vec{i}]+[\omega(t) \frac{\partial(-\vec{k})}{\partial t}, R \vec{i}]+\omega R [(-\vec{k}),\frac{\partial \vec{i}}{\partial t}]=a_c \vec{i}+\frac{\partial \omega}{\partial t} R [-\vec{k},\vec{i}]+\omega R [\frac{\partial(-\vec{k})}{\partial t},\vec{i}]+\omega R [(-\vec{k}),\frac{\partial \vec{i}}{\partial t}]=a_c \vec{i}+\frac{\partial \omega}{\partial t} R [-\vec{k},\vec{i}]+\omega R [[\vec{\omega},(-\vec{k})],\vec{i}]+\omega R [(-\vec{k}),[\vec{\omega},\vec{i}]]=a_c \vec{i}+\frac{\partial \omega}{\partial t} R [-\vec{k},\vec{i}]+\omega R [\omega [(-\vec{k}),(-\vec{k})],\vec{i}]+\omega R [(-\vec{k}),\omega [(-\vec{k}),\vec{i}]]=a_c \vec{i}+\frac{\partial \omega}{\partial t} R [-\vec{k},\vec{i}]+\omega^2 R [[-\vec{k},-\vec{k}],\vec{i}]+\omega^2 R [-\vec{k},[-\vec{k},\vec{i}]]=a_c \vec{i}+\frac{\partial \omega}{\partial t} R (-\vec{j})+\omega^2 R [\vec{0},\vec{i}]+\omega^2 R (-\vec{i})=(a_c-\omega^2 R)\vec{i}+(-\frac{\partial \omega}{\partial t} R)\vec{j}$

Тогда тангенциальное ускорение по модулю равно $|\vec{a}_\tau|=\frac{\sqrt{2}}{2}(a_c-\omega^2 R)+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\partial \omega}{\partial t} R=\frac{\sqrt{2}}{2}(a-\frac{a^2 t^2}{R})+\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}a^2 t^2}{2R}$

Но в самом начале решения получилось, что скорость равна $v_b=\sqrt{2}at$, а тангенциальное ускорение есть производная модуля скорости по времени. Почему получается просто $\sqrt{2}a$?
И правильно ли записаны векторы скорости и ускорения и их модули. Пожалуйста помогите.

[nikvic]

Seergey в сообщении #825367 писал(а):

Но в самом начале решения получилось, что скорость равна $v_b=\sqrt{2}at$

Вы путаете с равноускоренным движение точки по прямой - а у нас циклоида
Примените честно формулу для абсолютного ускорения точки, движущейся относительно подвижной системы отсчёта.

[Oleg Zubelevich]

Seergey в сообщении #825367 писал(а):

Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости с ускорением a

На этом этапе уже обычно ставят "2" и выгоняют

[Seergey]

Если честно, то $|\vec{a}_b|=\sqrt{((a_c-\omega^2 R)\vec{i})^2+(-\frac{\partial \omega}{\partial t} R\vec{j})^2}=\sqrt{(a-\omega^2 R)^2+a^2}$ - полное ускорение

Но так же можно найти и модуль скорости точки B (красная стрелка), который равен $\sqrt{2}at$. А если продифференцировать по времени, то получится тангенциальное ускорение (желтая стрелка), но оно почему-то получается укороченное...

-- 11.02.2014, 22:41 --

Oleg Zubelevich в сообщении #825381 писал(а):

Seergey в сообщении #825367 писал(а):

Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости с ускорением a

На этом этапе уже обычно ставят "2" и выгоняют

, так что его центр движется с постоянным ускорением $\vec{a}$ ???

[nikvic]

Seergey в сообщении #825385 писал(а):

так что его центр движется с постоянным ускорением $\vec{a}$ ???

Ага.
Но считать Вы начали, не подумав о направлениях слагаемых...

[Seergey]

nikvic в сообщении #825392 писал(а):

Seergey в сообщении #825385 писал(а):

так что его центр движется с постоянным ускорением $\vec{a}$ ???

Ага.
Но считать Вы начали, не подумав о направлениях слагаемых...

Как это? Я как раз разложил скорость по направлениям: скорость перемещения центра масс направлено по ору i, а за счет вращения есть компонента скорости направленная против орта j. Вектор угловой скорости направлен против орта k. Исходя из этого можно найти вектор полной скорости, а потом найти его длину. (угол 45 градусов между вектором скорости и ортом i). А тангенциальное ускорение как я понимаю направлено вдоль скорости, при взятии производной получившийся вектор будет тг. ускорением. Только вот если брать от конечного результата, ведь скорость равна $\sqrt{2}at$, получается $\sqrt{2}a$, а если брать производную от вектора скорости без подстановки то получается то, что я там выше писал: $\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}a^2 t^2}{2R}$

[Oleg Zubelevich]

иногда бывает проще написать закон движения и продифференцировать его

[guryev]

Seergey в сообщении #825367 писал(а):

...в самом начале решения получилось, что скорость равна $v_b=\sqrt{2}at$, а тангенциальное ускорение есть производная модуля скорости по времени. Почему получается просто $\sqrt{2}a$?

Тут не полностью учтена зависимость от времени, так что это выражение нельзя дифференцировать. Действительно,

$$\mathbf{v_b}=\mathbf{v_c}+\left[\boldsymbol{\omega},\mathbf{r_{cb}}\right]$$

Тогда в выражение для модуля скорости $v_b$ должна входить зависимость от времени не только модулей этих двух слагаемых, но и угла между этими векторами, то есть, модуль скорости $v_b$ зависит от времени $\tau$ как-то так:

$$v_b(\tau)=\sqrt{{\mathbf{v_c}}^2+\left[\boldsymbol{\omega},\mathbf{r_{cb}}\right]^2-2v_c\left|\left[\boldsymbol{\omega},\mathbf{r_{cb}}\right]\right|cos(\frac{\pi}{2}-\omega(\tau-t))}=\sqrt{2}a\tau\sqrt{1-sin(\frac{a\tau}{R}(\tau-t))}$$

Где $t$ - время, когда угол между $\mathbf{v_c}$ и $\left[\boldsymbol{\omega},\mathbf{r_{cb}}\right]$ составлял $\pi/2$, как на рисунке.

Остаётся продифференцировать $v_b(\tau)$ по времени $ \tau $, а потом уже подставить $\tau=t$, тогда всё сойдётся.

[Seergey]

$$\mathbf{v_b}=\mathbf{v_c}+\left[\boldsymbol{\omega},\mathbf{r_{cb}}\right]$$

А это выражание правильно продифференцировано в самом начале? Если i, j, k неподвижны, то как правильно дифференцировать векторное произведение? Там ведь радиус-вектор $\vec{r}_{cb}$ поворачивается, т. е. $\vec{v_c} $ дифференцировать как будто орты не подвижны, а векторное произведение как будто подвижны? Или как это правильно сделать?

[Oleg Zubelevich]

Если под тангенциальным ускорением подразумевается стандартная вещь: проекция ускорения точки на касательную к траектории т.е.

$$\frac{(\overline a,\overline v)}{|\overline v|^2}\overline v.$$

То ответ зависит от времени и от начальной угловой скорости.

(Оффтоп)

И с вероятностью 1 не будет найден правильно участниками обсуждения

[nikvic]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #827128 писал(а):

И с вероятностью 1 не будет найден правильно участниками обсуждения

Как? Неужели и Вы?..

-- Вс фев 16, 2014 14:10:07 --

Oleg Zubelevich в сообщении #825381 писал(а):

На этом этапе уже обычно ставят "2" и выгоняют

""""Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости с ускорением a

Ничего подобного. В таких случаях подразумевается ускорение вагона или, что то же, точки на оси вагонного колеса

[Oleg Zubelevich]

Seergey в сообщении #825397 писал(а):

ше писал: $\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}a^2 t^2}{2R}$

кстати это правильный ответ, при условии, что при $t=0$ угловая скорость диска была равна нулю

[guryev]

Seergey в сообщении #826997 писал(а):

$$\mathbf{v_b}=\mathbf{v_c}+\left[\boldsymbol{\omega},\mathbf{r_{cb}}\right]$$

А это выражание правильно продифференцировано в самом начале?
Если i, j, k неподвижны, то как правильно дифференцировать векторное произведение?

$\frac{d\mathbf{v_b}}{dt}$ выведена правильно. Я, во всяком случае, ошибок не нашёл.

Seergey в сообщении #826997 писал(а):

Там ведь радиус-вектор $\vec{r}_{cb}$ поворачивается, т. е. $\vec{v_c} $ дифференцировать как будто орты не подвижны, а векторное произведение как будто подвижны? Или как это правильно сделать?

Внесём ясность в обозначениях. Вектор $\mathbf{k}$ - орт угловой скорости (с точностью до знака) - с этим ясно. Он постоянный. Вектор $\mathbf{j}$ - орт ( со знаком минус ) линейной скорости точки $B$ в системе отсчёта, связанной с центром цилиндра. Он, естественно, вращается. А что такое $\mathbf{i}$ ? Если это орт скорости центра цилиндра $\mathbf{v_c}$, то он постоянный - направление движения центра не меняется. Если это орт радиуса-вектора $\mathbf{r_{cb}} $, то он вращается, а совпадает с ортом вектора $\mathbf{v_c}$ лишь на мгновение. Для дифференцирования по времени это существенно.

Короче, я бы посоветовал обозначить по-разному орты векторов $\mathbf{v_c}$ и $\mathbf{r_{cb}}$.

[Seergey]

Если диск катится по плоскости, а ijk неподвижно связаны с этой плоскостью, то

$\vec{v_b}=\vec{v_c}+[\vec{\omega}, \vec{r}_{bc}]=v_c \vec{i}+[\omega (-\vec{k}), r_{bc} \vec{i}]=v_c \vec{i}+\omega r_{bc}[ -\vec{k}, \vec{i}]$

Далее, что бы найти ускорение надо вообще говоря брать производную от вектора скорости:

$\vec{v_b}'=v_c' \vec{i}+\omega' r_{bc}[ -\vec{k}, \vec{i}]+\omega r_{bc}'[ -\vec{k}, \vec{i}]$

Это правильно? То есть орты не дифферинцируются в случае если ijk неподвижно связаны с этой плоскостью?

[Oleg Zubelevich]

Забавно наблюдать , как люди пыжутся вывести формулу Ривальса [Маркеев, Теор. механика] для такого простого частного случая.

-- Вс фев 16, 2014 15:01:37 --

Oleg Zubelevich в сообщении #738767 писал(а):

формула распределения ускорений в твердом теле $\dot{\overline v}_A=\dot{\overline v}_S+[\dot{\overline \omega},\overline{SA}]+[\overline\omega,[\overline\omega,\overline{SA}]]$