А это выражание правильно продифференцировано в самом начале?
Если i, j, k неподвижны, то как правильно дифференцировать векторное произведение?

выведена правильно. Я, во всяком случае, ошибок не нашёл.
Там ведь радиус-вектор

поворачивается, т. е.

дифференцировать как будто орты не подвижны, а векторное произведение как будто подвижны? Или как это правильно сделать?
Внесём ясность в обозначениях. Вектор

- орт угловой скорости (с точностью до знака) - с этим ясно. Он постоянный. Вектор

- орт ( со знаком минус ) линейной скорости точки

в системе отсчёта, связанной с центром цилиндра. Он, естественно, вращается. А что такое

? Если это орт скорости центра цилиндра

, то он постоянный - направление движения центра не меняется. Если это орт радиуса-вектора

, то он вращается, а совпадает с ортом вектора

лишь на мгновение. Для дифференцирования по времени это существенно.
Короче, я бы посоветовал обозначить по-разному орты векторов

и

.