Цилиндр катится без скольжения (ускорение точки)

[guryev]

Seergey в сообщении #827172 писал(а):

Если диск катится по плоскости, а ijk неподвижно связаны с этой плоскостью, то

$\vec{v_b}=\vec{v_c}+[\vec{\omega}, \vec{r}_{bc}]=v_c \vec{i}+[\omega (-\vec{k}), r_{bc} \vec{i}]=v_c \vec{i}+\omega r_{bc}[ -\vec{k}, \vec{i}]$

Как частное значение - это правильно. Как зависимость от времени - неправильно. Сами судите - у нас $\mathbf{r_{bc}}$ вращается, а вы представили его в виде $\mathbf{r_{bc}}=r_{bc}\mathbf{i}$, где $\mathbf{i}$ задали постоянным!

[Seergey]

guryev в сообщении #827213 писал(а):

Seergey в сообщении #827172 писал(а):

Если диск катится по плоскости, а ijk неподвижно связаны с этой плоскостью, то

$\vec{v_b}=\vec{v_c}+[\vec{\omega}, \vec{r}_{bc}]=v_c \vec{i}+[\omega (-\vec{k}), r_{bc} \vec{i}]=v_c \vec{i}+\omega r_{bc}[ -\vec{k}, \vec{i}]$

Как частное значение - это правильно. Как зависимость от времени - неправильно. Сами судите - у нас $\mathbf{r_{bc}}$ вращается, а вы представили его в виде $\mathbf{r_{bc}}=r_{bc}\mathbf{i}$, где $\mathbf{i}$ задали постоянным!

А если представить $\vec{r}_{bc}=r \cos \alpha \vec{i}-r \sin \alpha \vec{j}$, тогда
$\vec{v_b}=\vec{v_c}+[\vec{\omega}, r \cos \alpha \vec{i}-r \sin \alpha \vec{j}]$.

$\vec{v_b}'=\vec{v_c}'+[\vec{\omega}, r \cos \alpha \vec{i}]'-[\vec{\omega}, r \sin \alpha \vec{j}]'=a\vec{i}+(\omega(t) [-\vec{k}, r \cos \alpha \vec{i}])'-(\omega(t)[-\vec{k}, r \sin \alpha \vec{j}])'=a\vec{i}+\omega' [-\vec{k}, r \cos \alpha \vec{i}]-\omega' [-\vec{k}, r \sin \alpha \vec{j}]+\omega [-\vec{k}, r \cos \alpha \vec{i}]'-\omega [-\vec{k}, r \sin \alpha \vec{j}]'=a\vec{i}+\omega' r[-\vec{k}, \cos \alpha \vec{i}]-\omega' r [-\vec{k}, \sin \alpha \vec{j}]-\omega r [-\vec{k}, \sin \alpha \omega \vec{i}]-\omega r [-\vec{k}, \cos \alpha \omega \vec{j}]=a\vec{i}+\omega' r[-\vec{k}, \cos \alpha \vec{i}]-\omega' r [-\vec{k}, \sin \alpha \vec{j}]-\omega^2 r [-\vec{k}, \sin \alpha \vec{i}]-\omega^2 r [-\vec{k}, \cos \alpha \vec{j}]$

Теперь если подставить $\alpha = 0$, то
$a\vec{i}+\omega' r[-\vec{k}, 1 \vec{i}]-\omega' r [-\vec{k}, 0 \vec{j}]-\omega^2 r [-\vec{k}, 0 \vec{i}]-\omega^2 r [-\vec{k}, 1 \vec{j}]=a\vec{i}+\omega' r[-\vec{k}, \vec{i}]-\omega^2 r [-\vec{k}, \vec{j}]=a\vec{i}+\omega' r(-\vec{j})-\omega^2 r \vec{i}=(a-\omega^2 r)\vec{i}+\omega' r(-\vec{j})$

[guryev]

Seergey в сообщении #827286 писал(а):

А если представить $\vec{r}_{bc}=r \cos \alpha \vec{i}-r \sin \alpha \vec{j}$, тогда
$\vec{v_b}=\vec{v_c}+[\vec{\omega}, r \cos \alpha \vec{i}-r \sin \alpha \vec{j}]$.

$\vec{v_b}'=\vec{v_c}'+[\vec{\omega}, r \cos \alpha \vec{i}]'-[\vec{\omega}, r \sin \alpha \vec{j}]'=a\vec{i}+(\omega(t) [-\vec{k}, r \cos \alpha \vec{i}])'-(\omega(t)[-\vec{k}, r \sin \alpha \vec{j}])'=a\vec{i}+\omega' [-\vec{k}, r \cos \alpha \vec{i}]-\omega' [-\vec{k}, r \sin \alpha \vec{j}]+\omega [-\vec{k}, r \cos \alpha \vec{i}]'-\omega [-\vec{k}, r \sin \alpha \vec{j}]'=a\vec{i}+\omega' r[-\vec{k}, \cos \alpha \vec{i}]-\omega' r [-\vec{k}, \sin \alpha \vec{j}]-\omega r [-\vec{k}, \sin \alpha \omega \vec{i}]-\omega r [-\vec{k}, \cos \alpha \omega \vec{j}]=a\vec{i}+\omega' r[-\vec{k}, \cos \alpha \vec{i}]-\omega' r [-\vec{k}, \sin \alpha \vec{j}]-\omega^2 r [-\vec{k}, \sin \alpha \vec{i}]-\omega^2 r [-\vec{k}, \cos \alpha \vec{j}]$

Теперь если подставить $\alpha = 0$, то
$a\vec{i}+\omega' r[-\vec{k}, 1 \vec{i}]-\omega' r [-\vec{k}, 0 \vec{j}]-\omega^2 r [-\vec{k}, 0 \vec{i}]-\omega^2 r [-\vec{k}, 1 \vec{j}]=a\vec{i}+\omega' r[-\vec{k}, \vec{i}]-\omega^2 r [-\vec{k}, \vec{j}]=a\vec{i}+\omega' r(-\vec{j})-\omega^2 r \vec{i}=(a-\omega^2 r)\vec{i}+\omega' r(-\vec{j})$

Это, конечно, правильно, только при этом получается ускорение точки $B$, а вам нужна его тангенциальная составляющая. Кстати, вы уже получили аналогичный результат в самом начале.

[Seergey]

Oleg Zubelevich в сообщении #827128 писал(а):

Если под тангенциальным ускорением подразумевается стандартная вещь: проекция ускорения точки на касательную к траектории т.е.

$$\frac{(\overline a,\overline v)}{|\overline v|^2}\overline v.$$

То ответ зависит от времени и от начальной угловой скорости.

(Оффтоп)

И с вероятностью 1 не будет найден правильно участниками обсуждения

$\vec{r}_{bc}=r \cos \alpha \vec{i}-r \sin \alpha \vec{j}$

$|\vec{v}_{c}|=\sqrt{(v(t)-r \omega (t) \sin (\alpha (t)))^2+(r (- \omega (t)) \cos (\alpha (t)))^2}$

$|\vec{a}_\tau|=|\vec{v}_{c}|'=\frac{\partial \sqrt{r^2 \omega (t)^2 \cos ^2(\alpha (t))+(v(t)-r \omega (t) \sin (\alpha (t)))^2}}{\partial t}$=$\frac{2 r^2 \omega(t) \cos ^2(\alpha (t)) \omega'(t)-2 r^2 \omega(t)^2 \alpha '(t) \sin (\alpha (t)) \cos (\alpha (t))+2 (v(t)-r \omega(t) \sin (\alpha (t))) (-r \sin (\alpha (t)) \omega'(t)-r \omega(t) \alpha '(t) \cos (\alpha (t))+v'(t))}{2 \sqrt{r^2 \omega(t)^2 \cos ^2(\alpha (t))+(v(t)-r \omega(t) \sin (\alpha (t)))^2}}$=$\frac{v(t) \left(v'(t)-r \left(\sin (\alpha (t)) \omega'(t)+\omega(t) \alpha '(t) \cos (\alpha (t))\right)\right)+r \omega(t) \left(r \omega'(t)-\sin (\alpha (t)) v'(t)\right)}{\sqrt{r^2 \omega(t)^2-2 r v(t) \omega(t) \sin (\alpha (t))+v(t)^2}}$

Теперь вместо $\alpha$ можно подставить 0:
$|\vec{a}_\tau|=\frac{(\vec{a},\vec{v})}{|\vec{v}|^2}\vec{v}=\frac{r^2 \omega \omega'+v \left(v'-r \omega \alpha '\right)}{\sqrt{r^2 \omega^2+v^2}}=\frac{r v \omega'+v \left(v'-v \omega\right)}{\sqrt{v^2+v^2}}=\frac{r v \omega'+v \left(v'-v \omega\right)}{\sqrt{2}v}=\frac{r \omega'+\left(v'-v \omega\right)}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} r \omega'}{2}+\frac{\sqrt{2}\left(a-v \omega\right)}{2}=\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}a^2 t^2}{2r}$

-- 16.02.2014, 21:33 --

Oleg Zubelevich в сообщении #827147 писал(а):

Seergey в сообщении #825397 писал(а):

ше писал: $\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}a^2 t^2}{2R}$

кстати это правильный ответ, при условии, что при $t=0$ угловая скорость диска была равна нулю

Это правильный ответ при условии что диск катится без проскальзывания и $\alpha(t)=0$, но не $t=0$

[Oleg Zubelevich]

думаете я с Вами спорить стану а что там у вас за альфа я не знаю и знать не хочу, я по человечески решал

[Seergey]

Oleg Zubelevich в сообщении #827358 писал(а):

думаете я с Вами спорить стану а что там у вас за альфа я не знаю и знать не хочу, я по человечески решал

альфа - угол между $\vec{i}$ и $\vec{r}_{bc}$

Такое ускорение будет не только в момент времени t=0, а в любой момент времени когда точка находится в положении B.