Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега

[djuuj]

Очень рад, что обсуждение продолжается. Рассмотрение различных подходов к определению и связей между ними -- то, что нужно, спасибо отписавшимся.

mishafromusa в сообщении #826691 писал(а):

интеграл Лебега положительной функции -- это площадь её подграфика, где под площадью пониматется мера Лебега на плоскости. Кстати, если под площадью понимать обычную площадь, т.е. меру Жордана, то получится интеграл Римана.

Насколько я понял Вы утверждаете следующее: ограниченная функция $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ интегрируема на $[a,b]$ по Риману (Лебегу) тогда и только тогда, когда криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $f$, измерима по Жордану (Лебегу). Поправьте, если неправильно понял. А как доказать это?

ewert в сообщении #826951 писал(а):

Нет, непонятно. Интеграл Лебега в принципе не может получаться с помощью римановых сумм (если они хоть сколько-то римановы), это просто тривиальщина. Если же Вы хотели сказать, что имелись в виду суммы римановы в том смысле, что они не римановы, ибо никаких римановых сумм, за исключением неримановых, не бывает -- ну так бы честно и сказали.

Посмотрел интеграл К-Х на вики. Там римановы суммы в чистом виде. Но условие предельного перехода не такое, как в Римана.

[mishafromusa]

Теперь нам понятно, что ewert просто не читал определения К-Х-интеграла.

[djuuj]

mishafromusa в сообщении #826694 писал(а):

я замечу 2 основных различия мер Лебега и Жордана. 1)Жордан использует только конечные объединения прямоугольников для оценки меры, а Лебег применяет и счётные. 2)Жордан приближает фигуру "снаружи" и "изнутри" а Лебег считает, что фигура Ф близка по площади к конечному набору прямоугольников П если площадь Ф\П и П\Ф мала, т.е. эти множества можно покрыть конечным или счётным набором прямоугольников с малой суммарной площадью.

По поводу способа приближения. В книге Дьяченко, Ульянов "Мера и интеграл" мера Жордана строится точно так же, как и Лебега, с той лишь разницей, что приближать можно только конечными объединениями прямоугольников. Хотя эквивалентность полученной меры и меры с приближениями "снаружи" и "изнутри" не доказана, мне кажется, это не очень сложно доказывается. Хмм..

[mishafromusa]

djuuj в сообщении #826973 писал(а):

По поводу способа приближения. В книге Дьяченко, Ульянов "Мера и интеграл" мера Жордана строится точно так же, как и Лебега, с той лишь разницей, что приближать можно только конечными объединениями прямоугольников. Хотя эквивалентность полученной меры и меры с приближениями "снаружи" и "изнутри" не доказана, мне кажется, это не очень сложно доказывается. Хмм..

Ну так докажите, и будете лучше понимать это.

-- 15.02.2014, 16:23 --

djuuj в сообщении #826965 писал(а):

Очень рад, что обсуждение продолжается. Рассмотрение различных подходов к определению и связей между ними -- то, что нужно, спасибо отписавшимся.

mishafromusa в сообщении #826691 писал(а):

интеграл Лебега положительной функции -- это площадь её подграфика, где под площадью пониматется мера Лебега на плоскости. Кстати, если под площадью понимать обычную площадь, т.е. меру Жордана, то получится интеграл Римана.

Насколько я понял Вы утверждаете следующее: ограниченная функция $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ интегрируема на $[a,b]$ по Риману (Лебегу) тогда и только тогда, когда криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $f$, измерима по Жордану (Лебегу). Поправьте, если неправильно понял. А как доказать это?

Это можно доказать сведением двойного интеграла к повторному. Двойной интеграл от характеристической функции подграфика -- это его площадь, а повторный интеграл -- это интеграл функции. Для интеграла Лебега про это есть у Колмогорова с Фоминым. Для Римана -- аналогично, докажите сами.

[ewert]

djuuj в сообщении #826965 писал(а):

Посмотрел интеграл К-Х на вики. Там римановы суммы в чистом виде. Но условие предельного перехода не такое, как в Римана.

Если условие предельного перехода не такое -- то это не те суммы, точка. Разве что принять, что те суммы выписаны зелёными чернилами; тогда да -- в фамилии Римана есть как минимум две общих буквы что с грин, что с грюн. Тогда это да, убедительно.

[g______d]

ewert в сообщении #826989 писал(а):

Если условие предельного перехода не такое -- то это не те суммы, точка.

Это Ваша личная точка зрения.

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum

[ewert]

g______d в сообщении #826991 писал(а):

Это Ваша личная точка зрения.

Нет, это не моя точка зрения, это ваша:

Цитата:

be a partition of I, where

a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.

The Riemann sum of f over I with partition P is defined as

S=\sum _{{i=1}}^{{n}}f(x_{i}^{*})(x_{{i}}-x_{{i-1}}),\quad x_{{i-1}}\leq x_{i}^{*}\leq x_{i}.

А теперь попытайтесь доказать, что это не Вы мне цитировали.

-- Вс фев 16, 2014 00:57:05 --

А, я понял. Вы понимаете римановы суммы в обобщённом смысле. Типа континуальные интегралы -- это твиттера. Поскольку и там, и там упоминаются плюсики.

[g______d]

В интеграле К.-Х. возникают ровно процитированные суммы. Единственное отличие – ограничение на выбор $x_i^*$.

-- 16.02.2014, 01:34 --

А я настаивал, что условий предельного перехода в определении римановых сумм нет.

[Oleg Zubelevich]

к слову о "суммах Дарбу" в интеграле Лебега

[mishafromusa]

ewert в сообщении #826989 писал(а):

Если условие предельного перехода не такое -- то это не те суммы, точка.

Вот это совсем непонятно. Кто-нибудь может пояснить?

[ewert]

g______d в сообщении #827000 писал(а):

А я настаивал, что условий предельного перехода в определении римановых сумм нет.

Нет. Но само это определение без привязки к дальнейшему предельному переходу -- вполне бессмысленно. Любая математическая конструкция нужна лишь зачем-то, а иначе она и нафик не нужна.

mishafromusa в сообщении #827004 писал(а):

Вот это совсем непонятно. Можно пояснить?

Только что.

[djuuj]

ewert в сообщении #827005 писал(а):

Любая математическая конструкция нужна лишь зачем-то, а иначе она и нафик не нужна.

Как видите, конструкция римановых сумм подходит не только для определения риманова интеграла.

[g______d]

ewert в сообщении #827005 писал(а):

Нет. Но само это определение без привязки к дальнейшему предельному переходу -- вполне бессмысленно.

К дальнейшему, но не обязательно именно к фигурирующему в интеграле Римана.

[mishafromusa]

Сумма Римана имеет смысл и без всякого предельного перехода. Просто в интеграле Римана предельный переход совершается одним способом, а в К-Х-интеграле -- другим. Одно и то же выражение используется в обоих интегралах. Спорить о том, называть ли его суммой Римана в обоих случаях или нет -- это не вполне осмысленная игра в слова. Между прочим, К-Х-интеграл иногда называют обобщённым интегралом Римана. Что же, те же самые суммы нужно теперь называть обобщёнными? Это было бы смешно и неприлично.

[ewert]

g______d в сообщении #827009 писал(а):

но не обязательно именно к фигурирующему в интеграле Римана.

Тогда это и не Римана. Не следует всуе поминать Имя Господне.

(Оффтоп)

И вообще, ув.ув. мистера: вы не забыли правила форума?... Официальными языками тут считаются только русский и аглицкий. К русскому языку все ваши предложения никакого отношения, естественно, не имеют. Да и к аглицкому -- в общем, тоже.