Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега

[ewert]

g______d в сообщении #826592 писал(а):

2) Если допустимыми считаются разбиения на измеримые по Лебегу множества, то получится интеграл Лебега.

Не получится. Что есть условие предельного перехода?...

[mishafromusa]

По этому вопросу советую посмотреть заметку об интеграле Курцвейля — Хенстока.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 0%BA%D0%B0

[ewert]

Не надо ничего никуда смотреть. Речь лишь о том, что скрестить ужа с ежом не выйдет. Если условием перехода является стремление к нулю диаметров (а это в римановом случае свято), то никакое обобщение понятия меры в лучшем случае не поможет.

[g______d]

ewert в сообщении #826614 писал(а):

условием перехода является стремление к нулю диаметров (а это в римановом случае свято)

Наконец-то понял, к чему Вы цепляетесь. Я имел в виду определение интеграла Римана по Дарбу, там нет никакого стремления к нулю диаметров (ну т. е. по факту есть, но в определении не предполагается). Думаю, что в цитированном абзаце из Титчмарша тоже имелось в виду определение Дарбу.

-- 15.02.2014, 01:17 --

mishafromusa в сообщении #826609 писал(а):

По этому вопросу советую посмотреть заметку об интеграле Курцвейля — Хенстока.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 0%BA%D0%B0

Да не при чем это здесь, я писал уже.

[mishafromusa]

Как раз при чём, интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #826676 писал(а):

Как раз при чём, интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

Возможно, Вы правы, тогда извините. Действительно, интеграл Римана получится, если в качестве калибровочных функций в интеграле Курцвейля-Хенстока разрешить только константы.

А что насчет интеграла Лебега? Можете точно сформулировать?

[mishafromusa]

Дело в том, что для положительных функций К-Х-интеграл совпадает с интегралом Лебега, поэтому получается, что абсолютно интегрируемые функции -- те же самые для обоих интегралов. Курцвейль-Хенсток даёт что-то новое только в неабсолютно интегрируемом случае. Я в доказательстве детально не разбирался, но сам факт становится ясным, если вспомнить, что интеграл Лебега положительной функции -- это площадь её подграфика, где под площадью пониматется мера Лебега на плоскости. Кстати, если под площадью понимать обычную площадь, т.е. меру Жордана, то получится интеграл Римана. Сама идея интеграла Курцвейля — Хенстока достаточно прозрачна, и состоит в том, что там, где функция меняется быстро, нужно брать разбиения помельче, т.е. довольно популярная идея из вычислительной математики. С другой стороны -- само существование оснащённого разбиения, подчинённого данной калибровке опирается на компактность, что усложняет определение К-Х-интеграла и делает его неконструктивным.

[mishafromusa]

На случай, если человек, начавший всю эту дискуссию, ещё следит за ней, я замечу 2 основных различия мер Лебега и Жордана. 1)Жордан использует только конечные объединения прямоугольников для оценки меры, а Лебег применяет и счётные. 2)Жордан приближает фигуру "снаружи" и "изнутри" а Лебег считает, что фигура Ф близка по площади к конечному набору прямоугольников П если площадь Ф\П и П\Ф мала, т.е. эти множества можно покрыть конечным или счётным набором прямоугольников с малой суммарной площадью. Вот и вся разница, остальное -- технические подробности.

Для овладения предметом ему нужно взять задачник по мере и интегралу Лебега и порешать задачи.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #826676 писал(а):

интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

Что такое римановы суммы?

[mishafromusa]

ewert в сообщении #826714 писал(а):

mishafromusa в сообщении #826676 писал(а):

интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

Что такое римановы суммы?

Они составляются так: в некоторой точке каждого подинтервала, вычисляется значение функции и умножается на длину этого подинтервала, а потом эти произведехия суммируются. Интеграл Римана -- предел римановых сумм, когда длина самого длинного из подинтервалов стремится к нулю.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #826757 писал(а):

в некоторой точке каждого подинтервала, вычисляется значение функции и умножается на длину этого подинтервала, а потом эти произведехия суммируются. Интеграл Римана -- предел римановых сумм,

И чему же этот предел будет равен, если подсунуть под него функцию Дирихле?...

[mishafromusa]

ewert в сообщении #826773 писал(а):

mishafromusa в сообщении #826757 писал(а):

в некоторой точке каждого подинтервала, вычисляется значение функции и умножается на длину этого подинтервала, а потом эти произведехия суммируются. Интеграл Римана -- предел римановых сумм,

И чему же этот предел будет равен, если подсунуть под него функцию Дирихле?...

Функция Дирихле не интегрируема по Риману. Почитайте ссылки об интеграле Курцвейля-Хенстока, которые я привёл, и книжки/статьи, которые там указаны, может тогда поймёте. Кстати, проинтегриривать функцию Дирихле по Курцвейлю-Хенстоку -- неплохое упражнение, вообще понять почему К-Х-интеграл не меняется, когда функцию меняют на множестве меры нуль -- тоже интересная задачка, рекомендую.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #826775 писал(а):

Функция Дирихле не интегрируема по Риману.

Но Вы же обещали Лебега, и именно с помощью римановых сумм:

mishafromusa в сообщении #826676 писал(а):

интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

Уж выберите что-то одно.

[mishafromusa]

Дорогой ewert, для положительных функций интегралы Лебега и Курцвейла-Хенстока совпадают, а К-Х-интеграл строится с помощью римановых сумм. Надеюсь, что теперь понятно.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #826886 писал(а):

а К-Х-интеграл строится с помощью римановых сумм. Надеюсь, что теперь понятно.

Нет, непонятно. Интеграл Лебега в принципе не может получаться с помощью римановых сумм (если они хоть сколько-то римановы), это просто тривиальщина. Если же Вы хотели сказать, что имелись в виду суммы римановы в том смысле, что они не римановы, ибо никаких римановых сумм, за исключением неримановых, не бывает -- ну так бы честно и сказали.