Интегрирование системы уравнений в частных производных

[svv]

Вопрос 2.
Не знаю, какой здесь лучше численный метод. Не уверен, что даю хороший совет.

Пусть $n$ всюду положительно (это так?). Положим $n=e^\psi$. Уравнение $\operatorname{grad}{n} = -8n\mathbf{E}$ даёт
$e^\psi\operatorname{grad}\psi=-8e^\psi\mathbf E$
$\operatorname{grad}\psi=-8\mathbf E$

Возьмем от обеих частей дивергенцию:
$\operatorname{div}\operatorname{grad}\psi=-8\operatorname{div}\mathbf E=-8(1-e^\psi)$, или
$\Delta\psi+8(1-e^\psi)=0$
Получилось уравнение второго порядка, нелинейное (это минусы), но зато относительно одной скалярной неизвестной и напоминающее уравнение Гельмгольца (это плюсы).

Когда Вы его решите, из уравнения $\operatorname{grad}\psi=-8\mathbf E$ сразу находится вектор $\mathbf E$.

[olevkcom]

svv в сообщении #825131 писал(а):

Вопрос 2.
Не знаю, какой здесь лучше численный метод. Не уверен, что даю хороший совет.

Пусть $n$ всюду положительно (это так?). Положим $n=e^\psi$. Уравнение $\operatorname{grad}{n} = -8n\mathbf{E}$ даёт
$e^\psi\operatorname{grad}\psi=-8e^\psi\mathbf E$
$\operatorname{grad}\psi=-8\mathbf E$

Возьмем от обеих частей дивергенцию:
$\operatorname{div}\operatorname{grad}\psi=-8\operatorname{div}\mathbf E=-8(1-e^\psi)$, или
$\Delta\psi+8(1-e^\psi)=0$
Получилось уравнение второго порядка, нелинейное (это минусы), но зато относительно одной скалярной неизвестной и напоминающее уравнение Гельмгольца (это плюсы).

Когда Вы его решите, из уравнения $\operatorname{grad}\psi=-8\mathbf E$ сразу находится вектор $\mathbf E$.

С этого я и начал (после чего, и открыл эту ветку). Привёл к уравнению
$\triangle{\psi}=8(e^{\psi}-1),$
с граничными условиями вида:

и получил несколько "отличный" от предыдущего результат:

Слева график $n_e = \exp\psi$, справа график напряжённости поля.

По-видимому, в лоб нелинейное уравнение результат не даст.
Под результатом я понимаю распределение, полученное по явной формуле из решения системы.

Вопрос "Как быть?" остаётся открытым, ведь хотелось бы решить систему и для трёхмерного случая.

[svv]

olevkcom в сообщении #826007 писал(а):

С этого я и начал (после чего, и открыл эту ветку). Привёл к уравнению
$\triangle{\psi}=8(e^{\psi}-1),$

Правда? В любом случае очень приятно такое совпадение, хоть и не получилось.
Само скалярное уравнение в этом не виновато. Оно (как я думаю) в этой ситуации будет не худшей из отправных точек для применения численных методов.

Правда, конкретный численный метод может потребовать свести его опять к системе уравнений первого порядка...

Я Вам, как видно, тут ничем не помогу. Может, ответят специалисты по численному решению нелинейных ДУЧП.

[olevkcom]

svv в сообщении #826011 писал(а):

olevkcom в сообщении #826007 писал(а):

С этого я и начал (после чего, и открыл эту ветку). Привёл к уравнению
$\triangle{\psi}=8(e^{\psi}-1),$

Правда? В любом случае очень приятно такое совпадение, хоть и не получилось.

Да, это первое, что пришло на ум.

svv в сообщении #826011 писал(а):

olevkcom в сообщении #826007 писал(а):

С этого я и начал (после чего, и открыл эту ветку). Привёл к уравнению
$\triangle{\psi}=8(e^{\psi}-1),$

Правда? В любом случае очень приятно такое совпадение, хоть и не получилось.
Само скалярное уравнение в этом не виновато. Оно (как я думаю) в этой ситуации будет не худшим из возможных вариантов, к которому надо применять численные методы.

Другое дело, что конкретный численный метод может потребовать свести его опять к системе...

Я Вам, как видно, тут ничем не помогу. Может, ответят специалисты по численному решению нелинейных ДУЧП.

Ну почему же? Вы уже помогли, с системой.
А нельзя ли как-нибудь обобщить Ваше предложение на трёхмерный случай, с разными компонентами $\mathbf{E}=\{E_1,\,E_2,\,E_3\}$ вектора напряжённости :
\begin{eqnarray*} \partial_x n_e &=& -8 n_e E_1, \\ \partial_y n_e &=& -8 n_e E_2, \\ \partial_z n_e &=& -8 n_e E_3, \\ \partial_x E + \partial_y E + \partial_z E &=& 1 - n_e? \end{eqnarray*}

[svv]

Здесь выкладки совершенно те же самые, только дифференциальные операторы (градиент, дивергенция, лапласиан) понимаются как трехмерные, а векторы как трехкомпонентные. На написанных формулах это никак не скажется.

Т.е. не вижу принципиальных отличий от двумерного случая, где компоненты $E_1, E_2$ тоже были различны.

[olevkcom]

svv в сообщении #826029 писал(а):

Здесь выкладки совершенно те же самые, только дифференциальные операторы (градиент, дивергенция, лапласиан) понимаются как трехмерные, а векторы как трехкомпонентные. На написанных формулах это никак не скажется.

Т.е. не вижу принципиальных отличий от двумерного случая, где компоненты $E_1, E_2$ тоже были различны.

Разумеется Речь о том, как бы так проинтегрировать систему как систему теперь уже 4-х уравнений,
не сводя к одному нелинейному, чтобы получилось выпуклое вверх распределение для $n_e$
по трём координатам? Если это вообще возможно при различных $E_1, \,E_2,\,E_3$.

[svv]

Не знаю.
Смотрю на Вашу систему и всё равно хочется выразить $E_1, E_2, E_3$ через $n_e$ и подставить в четвертое уравнение, с дивергенцией.

Кстати: это у Вас показатель преломления и напряженность электрического поля (похоже, нормированного)? Или что-то иное? Не раскроете ли секрет задачи?

[svv]

Я понял! $n_e$ — это концентрация электронов (проводимости) по отношению к концентрации положительных ионов кристаллической решетки, принятой за $1$. Поэтому суммарная концентрация зарядов равна $1-n_e$, и она выступает в качестве плотности источников электрического поля в уравнении $\operatorname{div}\mathbf E=1-n_e$.

Дальше, уравнение $\operatorname{grad}n_e = -8 n_e \mathbf E$, наоборот, описывает, как влияет поле на концентрацию электронов: она растет в направлении, противоположном направлению поля (электроны стремятся скатиться в яму). Собственно, $-\ln n$ пропорционален энергии электрона $-e\varphi$. Так что совсем физичной подстановкой было бы $\ln n=8\varphi$.

Конечно, здесь всё нормировано, и мы не видим всяких констант, характеризующих свойства вещества и т.д.

Хоть примерно правильно?

[olevkcom]

svv в сообщении #826099 писал(а):

Я понял! $n_e$ — это концентрация электронов (проводимости) по отношению к концентрации положительных ионов кристаллической решетки, принятой за $1$. Поэтому суммарная концентрация зарядов равна $1-n_e$, и она выступает в качестве плотности источников электрического поля в уравнении $\operatorname{div}\mathbf E=1-n_e$.

Дальше, уравнение $\operatorname{grad}n_e = -8 n_e \mathbf E$, наоборот, описывает, как влияет поле на концентрацию электронов: она растет в направлении, противоположном направлению поля (электроны стремятся скатиться в яму). Собственно, $-\ln n$ пропорционален энергии электрона $-e\varphi$. Так что совсем физичной подстановкой было бы $\ln n=8\varphi$.

Конечно, здесь всё нормировано, и мы не видим всяких констант, характеризующих свойства вещества и т.д.

Хоть примерно правильно?

В точку. Абсолютно правильно.
Задачка простая - численно решить систему (7)-(13), (правда, я пока не рассматриваю $n_i$ и уравнение (11))
в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.
Наше обсуждение касается уравнений (12), (13). Модель из статьи описывает качественную динамику
структур (рис.1a-d), хотя типы структур разнообразны (рис.1e-f).

Решал уравнение движения в 2d постановке, а двумерное поле (и концентрацию электронов) делал вращением,
либо параллельным переносом из одномерного (5), (6) и получал распределения рис.2.a-c.


Хотелось бы решить задачу в полной 2d и 3d постановке.
Потому, и обратился с вопросом.