2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение11.02.2014, 00:29 
Аватара пользователя
Вопрос 2.
Не знаю, какой здесь лучше численный метод. Не уверен, что даю хороший совет.

Пусть $n$ всюду положительно (это так?). Положим $n=e^\psi$. Уравнение $\operatorname{grad}{n} = -8n\mathbf{E}$ даёт
$e^\psi\operatorname{grad}\psi=-8e^\psi\mathbf E$
$\operatorname{grad}\psi=-8\mathbf E$

Возьмем от обеих частей дивергенцию:
$\operatorname{div}\operatorname{grad}\psi=-8\operatorname{div}\mathbf E=-8(1-e^\psi)$, или
$\Delta\psi+8(1-e^\psi)=0$
Получилось уравнение второго порядка, нелинейное (это минусы), но зато относительно одной скалярной неизвестной и напоминающее уравнение Гельмгольца (это плюсы).

Когда Вы его решите, из уравнения $\operatorname{grad}\psi=-8\mathbf E$ сразу находится вектор $\mathbf E$.

 
 
 
 Re: Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение13.02.2014, 20:10 
Аватара пользователя
svv в сообщении #825131 писал(а):
Вопрос 2.
Не знаю, какой здесь лучше численный метод. Не уверен, что даю хороший совет.

Пусть $n$ всюду положительно (это так?). Положим $n=e^\psi$. Уравнение $\operatorname{grad}{n} = -8n\mathbf{E}$ даёт
$e^\psi\operatorname{grad}\psi=-8e^\psi\mathbf E$
$\operatorname{grad}\psi=-8\mathbf E$

Возьмем от обеих частей дивергенцию:
$\operatorname{div}\operatorname{grad}\psi=-8\operatorname{div}\mathbf E=-8(1-e^\psi)$, или
$\Delta\psi+8(1-e^\psi)=0$
Получилось уравнение второго порядка, нелинейное (это минусы), но зато относительно одной скалярной неизвестной и напоминающее уравнение Гельмгольца (это плюсы).

Когда Вы его решите, из уравнения $\operatorname{grad}\psi=-8\mathbf E$ сразу находится вектор $\mathbf E$.


С этого я и начал (после чего, и открыл эту ветку). Привёл к уравнению
$\triangle{\psi}=8(e^{\psi}-1),$
с граничными условиями вида:
Изображение
и получил несколько "отличный" от предыдущего результат:
Изображение
Слева график $n_e = \exp\psi$, справа график напряжённости поля.

По-видимому, в лоб нелинейное уравнение результат не даст.
Под результатом я понимаю распределение, полученное по явной формуле из решения системы.

Вопрос "Как быть?" остаётся открытым, ведь хотелось бы решить систему и для трёхмерного случая.

 
 
 
 Re: Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение13.02.2014, 20:19 
Аватара пользователя
olevkcom в сообщении #826007 писал(а):
С этого я и начал (после чего, и открыл эту ветку). Привёл к уравнению
$\triangle{\psi}=8(e^{\psi}-1),$
Правда? В любом случае очень приятно такое совпадение, хоть и не получилось.
Само скалярное уравнение в этом не виновато. Оно (как я думаю) в этой ситуации будет не худшей из отправных точек для применения численных методов.

Правда, конкретный численный метод может потребовать свести его опять к системе уравнений первого порядка...

Я Вам, как видно, тут ничем не помогу. Может, ответят специалисты по численному решению нелинейных ДУЧП.

 
 
 
 Re: Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение13.02.2014, 20:30 
Аватара пользователя
svv в сообщении #826011 писал(а):
olevkcom в сообщении #826007 писал(а):
С этого я и начал (после чего, и открыл эту ветку). Привёл к уравнению
$\triangle{\psi}=8(e^{\psi}-1),$

Правда? В любом случае очень приятно такое совпадение, хоть и не получилось.

Да, это первое, что пришло на ум.

svv в сообщении #826011 писал(а):
olevkcom в сообщении #826007 писал(а):
С этого я и начал (после чего, и открыл эту ветку). Привёл к уравнению
$\triangle{\psi}=8(e^{\psi}-1),$
Правда? В любом случае очень приятно такое совпадение, хоть и не получилось.
Само скалярное уравнение в этом не виновато. Оно (как я думаю) в этой ситуации будет не худшим из возможных вариантов, к которому надо применять численные методы.

Другое дело, что конкретный численный метод может потребовать свести его опять к системе...

Я Вам, как видно, тут ничем не помогу. Может, ответят специалисты по численному решению нелинейных ДУЧП.

Ну почему же? Вы уже помогли, с системой.
А нельзя ли как-нибудь обобщить Ваше предложение на трёхмерный случай, с разными компонентами $\mathbf{E}=\{E_1,\,E_2,\,E_3\}$ вектора напряжённости :
\begin{eqnarray*}
\partial_x n_e &=& -8 n_e E_1, \\
\partial_y n_e &=& -8 n_e E_2, \\
\partial_z n_e &=& -8 n_e E_3, \\
\partial_x E + \partial_y E + \partial_z E &=& 1 - n_e?
\end{eqnarray*}

 
 
 
 Re: Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение13.02.2014, 20:39 
Аватара пользователя
Здесь выкладки совершенно те же самые, только дифференциальные операторы (градиент, дивергенция, лапласиан) понимаются как трехмерные, а векторы как трехкомпонентные. На написанных формулах это никак не скажется.

Т.е. не вижу принципиальных отличий от двумерного случая, где компоненты $E_1, E_2$ тоже были различны.

 
 
 
 Re: Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение13.02.2014, 20:45 
Аватара пользователя
svv в сообщении #826029 писал(а):
Здесь выкладки совершенно те же самые, только дифференциальные операторы (градиент, дивергенция, лапласиан) понимаются как трехмерные, а векторы как трехкомпонентные. На написанных формулах это никак не скажется.

Т.е. не вижу принципиальных отличий от двумерного случая, где компоненты $E_1, E_2$ тоже были различны.

Разумеется :-) Речь о том, как бы так проинтегрировать систему как систему теперь уже 4-х уравнений,
не сводя к одному нелинейному, чтобы получилось выпуклое вверх распределение для $n_e$
по трём координатам? Если это вообще возможно при различных $E_1, \,E_2,\,E_3$.

 
 
 
 Re: Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение13.02.2014, 20:55 
Аватара пользователя
Не знаю.
Смотрю на Вашу систему и всё равно хочется выразить $E_1, E_2, E_3$ через $n_e$ и подставить в четвертое уравнение, с дивергенцией.

Кстати: это у Вас показатель преломления и напряженность электрического поля (похоже, нормированного)? Или что-то иное? Не раскроете ли секрет задачи?

 
 
 
 Re: Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение14.02.2014, 00:08 
Аватара пользователя
Я понял! $n_e$ — это концентрация электронов (проводимости) по отношению к концентрации положительных ионов кристаллической решетки, принятой за $1$. Поэтому суммарная концентрация зарядов равна $1-n_e$, и она выступает в качестве плотности источников электрического поля в уравнении $\operatorname{div}\mathbf E=1-n_e$.

Дальше, уравнение $\operatorname{grad}n_e = -8 n_e \mathbf E$, наоборот, описывает, как влияет поле на концентрацию электронов: она растет в направлении, противоположном направлению поля (электроны стремятся скатиться в яму). Собственно, $-\ln n$ пропорционален энергии электрона $-e\varphi$. Так что совсем физичной подстановкой было бы $\ln n=8\varphi$.

Конечно, здесь всё нормировано, и мы не видим всяких констант, характеризующих свойства вещества и т.д.

Хоть примерно правильно?

 
 
 
 Re: Интегрирование системы уравнений в частных производных
Сообщение15.02.2014, 11:50 
Аватара пользователя
svv в сообщении #826099 писал(а):
Я понял! $n_e$ — это концентрация электронов (проводимости) по отношению к концентрации положительных ионов кристаллической решетки, принятой за $1$. Поэтому суммарная концентрация зарядов равна $1-n_e$, и она выступает в качестве плотности источников электрического поля в уравнении $\operatorname{div}\mathbf E=1-n_e$.

Дальше, уравнение $\operatorname{grad}n_e = -8 n_e \mathbf E$, наоборот, описывает, как влияет поле на концентрацию электронов: она растет в направлении, противоположном направлению поля (электроны стремятся скатиться в яму). Собственно, $-\ln n$ пропорционален энергии электрона $-e\varphi$. Так что совсем физичной подстановкой было бы $\ln n=8\varphi$.

Конечно, здесь всё нормировано, и мы не видим всяких констант, характеризующих свойства вещества и т.д.

Хоть примерно правильно?

В точку. Абсолютно правильно.
Задачка простая - численно решить систему (7)-(13), (правда, я пока не рассматриваю $n_i$ и уравнение (11))
в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.
Наше обсуждение касается уравнений (12), (13). Модель из статьи описывает качественную динамику
структур (рис.1a-d), хотя типы структур разнообразны (рис.1e-f).
Изображение
Решал уравнение движения в 2d постановке, а двумерное поле (и концентрацию электронов) делал вращением,
либо параллельным переносом из одномерного (5), (6) и получал распределения рис.2.a-c.
Изображение

Хотелось бы решить задачу в полной 2d и 3d постановке.
Потому, и обратился с вопросом.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group