Квантовая система из 3-ёх частиц

[myname]

Допустим у нас есть 3 частицы в "не запутанном" состоянии. Если запутать первую и второю, то при измерении система коллапсирует так, что у одной частицы спин будет направлен вверх у другой вниз. Допустим мы не стали измерять и оставшуюся третью частицу "спутали" с одной из первых двух, то при измерении получиться либо две частицы вверх и одна вниз, либо две вниз и одна вверх. Но что будет(измениться) если спутать ещё две частицы у которых пока по одной связи(хотя я понимаю, что они в уже находятся в одной системе и у них есть связь проходящая через частицу)?

Вопрос вдогонку: Есть система из двух частиц, если первую измерить, то вторая будет вести себя как корпускула(т.е. от неё не ожидать дифракционных волн, проводя аналогию с опытом Юнга)?

[fizeg]

Мне кажется вместо длинного ответа по этой теме, следует расписать по нормальному, но в то же время в максимально доступной и достаточно краткой форме про запутанность (да и про основы КМ тоже), а то в научпопе 99% - полный бред. Ну и положить это например в "Вопросы преподавания", не знаю... Может займусь этим сегодня вечерком или завтра, если никто не подкинет хорошей ссылки.

Пока можете почитать мои ответы в этой теме. Вряд ли это прояснит для вас многое, но даст некоторые намеки. Там кстати упоминается эксперимент с тремя спутанными частицами.

[myname]

Буду ждать. Заранее спасибо.

[myname]

Почитав форум, понял что мой первый вопрос не имеет смысла так как после спутывания нельзя различить частицы соответственно частицы с единичной связью не определить. Переформулированный вопрос: будет что-то меняться после повторных спутываний? Да и вообще, у меня возникли сомнения по поводу содержания первого поста.

[fizeg]

myname
Не знаю, подойдет ли к "Вопросам преподавания"... Многое я сейчас не обсуждаю, чтобы совсем в сторону не уйти. Если интересно, спросите.

Я попробую описать основные идеи квантовой механики максимально просто (благо они очень простые) Попробуйте забыть на время про всякие частицы и прочее, мой пример будет достаточно абстрактен, в то же время применим для очень многих случаев

Половина всей квантовости заключается в том, что состояние системы описывается вектором состояния. В каком смысле вектором? Пусть наша система может находиться в двух состояниях, которые я обозначу $|\uparrow\rangle$ и $|\downarrow\rangle$. Тогда в квантовой теории в качестве состояния можно рассматривать любую линейную комбинацию этих состояний, т.е.

$$|a\rangle=\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle$$

Где $\alpha$ и $\beta$ - произвольные комплексные числа. Ограничимся пока только такими состояниями.

Можете представить пространство как плоскость с осями $x$ и $y$. Единичные вектора вдоль осей $x$ и $y$ - аналоги наших $|\uparrow\rangle$ и $|\downarrow\rangle$, а любое состояние - вектор из начала координат в какую-то точку на плоскости. Вообще все что ниже допускает такую аналогию с поправкой, что задействованы комплексные числа.

Будем считать дальше, что $|\downarrow\rangle\neq\alpha|\uparrow\rangle$. Состояния $|\uparrow\rangle$ и $|\downarrow\rangle$ образуют базис, т.е. любое другое состояние может быть записано в виде их линейной комбинации. Также как любой вектор на плоскости может быть разложен по единичным векторам вдоль осей $x$ и $y$. Мы могли бы выбрать другой базис, например

$$|\uparrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|0\rangle+|1\rangle\Bigr),|\downarrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|0\rangle-|1\rangle\Bigr)$$

На этих векторах вводится скалярное произведение $\Bigl(|a\rangle,|b\rangle\Bigr)$ которое часто обозначается как $\langle b|a\rangle$. Как и в школьной геометрии оно симметричное и билинейное, но из-за того, что фигурируют комплексные числа в некоторых местах выскакивает комплесное сопряжение.

$$\Bigl(|a\rangle+|b\rangle,|c\rangle\Bigr)=\langle c|a\rangle+\langle c|b\rangle,\quad \Bigl(\alpha|a\rangle,|b\rangle\Bigr)=\alpha\langle b|a\rangle$$

$$\langle b|a\rangle=\Bigl(\langle a|b\rangle\Bigr)^\ast$$

Будем считать, что наш исходный базис ортонормированный

$$\langle\uparrow|\uparrow\rangle=\langle\downarrow|\downarrow\rangle=1,\quad \langle\uparrow|\downarrow\rangle=0$$

Тогда в векторе $|a\rangle$ коэффициенты разложения можно записать как скалярные произведения

$$\alpha=\langle\uparrow|a\rangle,\quad\beta=\langle\downarrow|a\rangle$$

Точно также коэффициенты разложения вектора на плоскости по единичным векторам вдоль осей (т.е. его координаты) запишутся как скалярные произведения с этими самыми векторами.

С другой стороны, мы можем разложить и по другому базису с коэффициентами

$$\tilde{\alpha}=\langle 0|a\rangle,\quad\tilde{\beta}=\langle 1|a\rangle$$

Теперь зачем все эти скалярные произведения нужны. Дело в том, что они связаны с вероятностями измерений. Допустим я меряю круговую поляризацию фотона и $|\uparrow\rangle$ обозначает левую круговую поляризацию, а $|\downarrow\rangle$ - правую. Тогда если фотон находится в состоянии $|a\rangle$ вероятность, что эксперимент даст левую спиральную поляризацию оказывается равной $\Big|\langle\uparrow|a\rangle\Big|^2$.

Состояние системы после измерения. В самом-самом простейшем случае если мы меряем результат соответствующий $|\uparrow\rangle$, то на выходе и получаем $|\uparrow\rangle$. Если же меряем результат соответствующей $|\downarrow\rangle$, то на выходе получаем $|\downarrow\rangle$. Получаем в том смысле, что последующие эксперименты дают результат, словно произошла такая обрубка. Это и есть "коллапс волновой функции".

Но если мы меряем что-то другое, например линейную поляризацию вдоль одной из осей, то состояния имеющие определенные значения этой новой наблюдаемой может соответствовать совсем другому базису, например $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Измерение будет срабатывать тем же способом - проецировать на одно из базисных состояний с какой-то вероятностей.

Но к чему это ведет. Летит допустим состояние с левой круговой поляризацией $|\uparrow\rangle$ мы меряем его линейную поляризацию и в итоге получаю например $|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle\Bigr)$. Но это означает, что если после этого я померяю круговую поляризацию я в половине случаев померяю левую, а в половине правую и не могу сказать заранее какую из них, т.е. такое состояние не будет иметь определенной круговой поляризации.

Точно также в КМ для частиц существуют состояния с определенными координатами и определенными импульсами, но не одновременно, что и есть источник соотношения неопределенностей. И здесь я хочу отметить следующее: при измерении не происходит того, что у нас в каком-то месте выскакивает маленький упругий шарик. У нас нет оснований считать, что квантовая система не остается квантовой всегда. Просто ее состояние рубится до некоторого другого и надо сказать, что этот процесс не описывается в рамках квантовой теории замкнутых систем. На том, почему и что творится когда мы уходим от замкнутости (которая при измерении естественно нарушается) я сейчас останавливаться не буду.

Если у нас есть две не взаимодействующие системы, например две частицы на большом расстоянии друг от друга, то их состояние можно описать с помощью так называемого тензорного произведения. Пусть первая частица точно находится в состоянии $|a\rangle_1$, а вторая в $|b\rangle_2$. Такое состояние нашей большой системы запишем как $|a\rangle_1\otimes|b\rangle_2$. Дальше скажем, что тензорное произведение билинейно, т.е.

$$(\alpha|a\rangle_1+\beta|b\rangle_1)\otimes|c\rangle_2=\alpha|a\rangle_1\otimes|c\rangle_2+\beta|b\rangle_1\otimes|c\rangle_2$$

И тут мы приходим собственно к спутанным состояниям. Дело в том, что если мы позволим линейной комбинации любых состояний быть тоже состоянием, мы допускаем и состояния вроде

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2+|\downarrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2\Bigr)$$

которые не представимы в виде $|a\rangle_1\otimes|b\rangle_2$. Такие состояния и называются спутанными. В частности то, что я написал - состояние мысленного эксперимента ЭПР и реальных экспериментов по проверке неравенств Белла.

Измерения также в принципе рубят наше состояние через проекцию на подпространство с определенным значением наблюдаемой, например если есть два спутанных фотона в состоянии

$$|\uparrow\rangle_1\otimes|a\rangle_2+|\downarrow\rangle_1\otimes|b\rangle_2$$

и мы меряем поляризацию первого, то если мы меряем левую поляризацию, состояние рубится до $|\uparrow\rangle_1\otimes|a\rangle_2$ и до $|\downarrow\rangle_1\otimes|b\rangle_2$, если правую.

Так что частицы в таком состоянии нельзя описать по отдельности с помощью чистого квантового состояния. Если мы хотим забыть про вторую частицу мы сможем описать первую только с помощью так называемого смешанного состояния, для чего придется вводить матрицу плотности, чего я делать сейчас не буду. Смысл состоит в следующем - это одно из чистых состояний с какой-то вероятностью в классическом смысле (т.е. не зависящем от измерений).

Из-за вероятностного характера измерений, наблюдая за частицей по отдельности мы не видим ничего удивительного. Какая разница, спутана ли наша частица с другой, или кто-то шлет с какой-то вероятностью частицу в каком-то состояниях. Но если кто-то делает эксперименты с другой частицей, мы можем сравнить наши результаты. Что мы обнаружим это корреляции, которые невозможно описать, если считать будто за всей нашей вероятностной квантовой моделью прячется чисто классический мир с неизвестными нам скрытыми параметрами. Единственное спасение такой точки зрения - считать, что наши частицы связаны друг с другом неким сверхсветовым каналом. С другой стороны квантовая теория НЕ требует сверхсветовых сигналов и при этом прекрасно описывает эти корреляции за счет простых вещей, которые я написал выше.

-- 16.10.2013, 00:41 --

Теперь простой пример эксперимента со спутанными состояниями - квантовый ластик


Два фотона разлетаются в ЭПР-состоянии. Первый фотон прилетает на двухщелевой эксперимент. На каждой из щелей стоит фильтр, который отсекает одну из поляризаций, т.е. $|\uparrow\rangle_1$ пролетает например через левую щель, а $|\downarrow\rangle_1$ через правую, поэтому переобозначим их как $|L\rangle_1$ и $|R\rangle_1$ соответственно. Т.е. состояние

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2+|R\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2\Bigr)$$

Формализм матрицы плотности, который я только упомянул, дает, что если забыть про вторую частицу, на первый детектор прилетает в половине случаев $|L\rangle$, а в половине $|R\rangle$. Т.е. на экране за двойной щелью у нас нет интерфенции, что и показывает эксперимент. Набираем статистику - картина складывается так, что фотон проходит через каждую из двух щелей по отдельности.

Займемся вторым фотоном. Его состояния с круговой поляризацией можно разложить на состояния с линейной поляризацией, например так

$$|\uparrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|+\rangle+|-\rangle\Bigr),\quad|\downarrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|+\rangle-|-\rangle\Bigr)$$

Тогда наше состояние представляется в виде

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle\otimes|\uparrow\rangle+|R\rangle\otimes|\downarrow\rangle\Bigr)=\frac{1}{2}\Bigl(|L\rangle+|R\rangle\Bigr)\otimes|+\rangle+\frac{1}{2}\Bigl(|L\rangle-|R\rangle\Bigr)\otimes|-\rangle$$

Теперь если мы будем набирать статистику только для тех первых фотонов, для которых второй в состоянии $|+\rangle$, мы получим интерференционную картину от $\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle+|R\rangle\Bigr)$. Потому эксперимент называется "квантовый ластик" - в новом базисе "стирается" информация о том, через какую щель проходит фотон. С другой стороны, если набирать статистику только для тех, для которых измерения второго дают $|-\rangle$, мы получим интерференционную картину в противофазе, от $\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle+|R\rangle\Bigr)$.

Если не знать, в какой именно поляризации получается второй фотон, эти две картины складываются вместе и получается картина от фотонов проходящих через две щели по отдельности.

-- 16.10.2013, 00:43 --

Прочитав это вы можете придумать любое спутанное состояние из трех и более частиц. Например
$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2\otimes|\uparrow\rangle_3+|\downarrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2\otimes|\downarrow\rangle_3\Bigr)$
Как придумаете, то можно будет заняться и исходными вопросами

Кстати, забыл упомянуть. Формулы для вероятностей написаны при условии, что вектор состояния нормирован на единицу, т.е. $\langle a|a\rangle=1$, грубо говоря, единичной длины. Иначе надо поделить на квадрат его нормы - она имеет смысл "полная вероятность померять хоть что-нибудь"

-- 16.10.2013, 01:06 --

Еще мелочь про квантовый ластик.

Я сказал, что в 50% случаев первый фотон прилетает в состоянии $|L\rangle$, а в 50% случаев прилетает в $|R\rangle$. Но с другой точки зрения (что получается во втором случае) в 50% случаев прилетает в $\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle+|R\rangle\Bigr)$, а в 50% случаев прилетает в $\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle-|R\rangle\Bigr)$

Так вот. Это совершенно неотличимые с точки зрения наблюдений ситуации. Опять же, спасибо (или "да будет проклят", если вам хочется сверхсветовой коммуникатор) вероятностному характеру измерений

[3non]

myname в сообщении #771954 писал(а):

Допустим у нас есть 3 частицы в "не запутанном" состоянии. Если запутать первую и второю, то...

тут вот пишут что-то про это ("....Вообразите два фотона в перепутанном состоянии: один летит к Алисе в Европу, а второй к Бобу в Австралию. Кроме того, у Алисы есть свой (третий) фотон, находящийся в своём состоянии и Алиса хочет подарить его Бобу, не отправляя. ... Американский ученый Сет Ллойд сотоварищи.. показали, что возможна такая ситуация, когда фотон дошел до Боба без манипуляций с кристаллами."), правда без конкретики а чисто научпоп некий)

[Munin]

Ну так и не читайте "газетуру". Это даже не научпоп, там пишущие явно ни в чём не разбираются.

[3non]

ээ.. т.е. в чистом виде брехня? (по поводу тех "экспериментов Сет Ллойд сотоварищи")
ну, я в принципе нутром чую что что-то там не то, но... Прям так и рубить с плеча этих заслуженных(вроде) товарищей? (т.е. тема, ихняя, не заслуживает дальнейшего углубленного рассмотрения?)

[Munin]

Какие-то эксперименты, наверное, какой-то Ллойд ставил. Но какие - вы из "газетыру" нипочём не узнаете.

Не путайте заслуженность экспериментаторов и заслуженность журнопроституток.

[3non]

а. в смысле имеете в виду не "брехня", а "переврали"..
но всё равно - топигстартеру на заметку :)