Цепочки

[Freude]

Предлагаю задачу о классических и квантовых цепочках. Задач несколько, на мой взгляд они довольно интересные.
Итак, есть две классические (квантовые) бесконечнопротяженные цепочки с разными параметрами (жесткости пружин и массы). Известны их спектры и волновые функции. Можно ли обладая такой информацией найти спектры и волновые функции комбинированной цепочки (кусок из одной бесконечнопротяженной цепочки вырезали и вставили в другую цепочку). Известна также длина цепочки-вставки.
Другой варинат задачи, дана цепочка, в которой на некотором участке заданной протяженности массы элементов больше/меньше чем у остальных элементов цепочки.
Обе эти задачи интересно исследовать при различных протяженностях "дефектного участка" от одного звена до длинного участка в несколько десятков периодов.
Интересно решить эту задачу методами теории возмущений с привлечением эффективной массы. Интересен также вопрос о граничных условиях. Какие базисные фукнции использовать для решения такой задачи?
P.S. Эта задача частично обсуждалась в разделе форума Физика: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1271

[Dan_Te]

Мы обсуждали это с Фотоном в личке, можно перенести сообщения из той темы в этот, механический форум, а в той теме оставить ссылку, в какую задачу все переросло.

Но тогда придется вот это ваше сообщение убирать, потому что оно позже написано.

[LynxGAV]

Товарищи, да это не по механике задача. Если уж быть точным, то по механике сплошных сред. Уверена, что "механики" её читающие, не поймут в чём дело.

[Аурелиано Буэндиа]

Freude писал(а):

Предлагаю задачу о классических и квантовых цепочках. Задач несколько, на мой взгляд они довольно интересные.
Итак, есть две классические (квантовые) бесконечнопротяженные цепочки с разными параметрами (жесткости пружин и массы). Известны их спектры и волновые функции.

Мда... действительно создавать такую тему в механике бессмысленно. Такой вот вопрос, а что вы понимаете под "Известны их спектры и волновые функции"?

[LynxGAV]

Ну мне это прекрасно понятно и так же прекрасно понятно, что это не понятно обычным, нормальным, без извращений механикам.

Спектр - это зависимость частоты от волнового вектора, а волновые функции - это то, что ты знаешь, как волновые функции.

Мне кажется, что эту задачу я уже не хуже братьев поняла. Цепочки рассматриваются классические, но на самом деле шарики - это атомы, в волновой вектор (число в одномерном пространстве) будет принимать только определенные значения.

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

волновые функции - это то, что ты знаешь, как волновые функции.

Круто!
Мне показалось, что речь шла не о состоянии электрона в поле решетки, а именно о квантовом (механическом) состоянии кристалической решетки...

[LynxGAV]

Чё тебя разрывает не по делу? Не надо было ставить знак вопроса.

[Freude]

Под спектром я понимаю спектр энергитических состояний "цепочки". Волновая фукнция относится только к квантовой цепочке. В случае классической цепочки наверно нужно говорить о смещении i-го элемента. О электроне я ничего не говорил... хотя подразумевал. Пока интересуют именно колебательные состояния цепочки (ну если хотите фононный спектр). Ведь если найти метод решения такой задачи, то перенести его на случай электрона в кусочно-периодическом потенциале не будет проблемой, правда?
Кстати, еще вопрос, как вы думаете, будет ли и при каких параметрах такая комбинированная цепочка локализовать колебания в дефектной области?

[Freude]

В предложенной постановке чем не механическая задача?

[LynxGAV]

Freude писал(а):

Под спектром я понимаю спектр энергитических состояний "цепочки".

Для такой классической цепочки под спектром понимается то, что я сказала. Переход к энергии известен .

Цитата:

В случае классической цепочки наверно нужно говорить о смещении i-го элемента.

Совершенно верно.
О фононах в разделе "механика" лучше не упоминать..

Цитата:

Ведь если найти метод решения такой задачи, то перенести его на случай электрона в кусочно-периодическом потенциале не будет проблемой, правда?

Этого я точно не знаю. Как сказать. Это фононный спектр, а то электронные состояния. Учитывая, что Вы столько литературы перелопатили, Вам и виднее насколько полна эта аналогия.

Цитата:

Кстати, еще вопрос, как вы думаете, будет ли и при каких параметрах такая комбинированная цепочка локализовать колебания в дефектной области?

А что так оценишь ("на глаз" конечно можно и поразглагольствовать)? Это если бы уже результат был (конечная формула/ы) и то как параметры лягут.

[Freude]

Аналогия, конечно, не полная, но я думаю, что методы решения могут быть общими. Почему не говорить в разделе механика о фононах? Я думал, что метод вторичного квантования это метод механики, задача многих тел. Может я не прав?
По поводу спектра, зависимость энергии от волнового вектора (дисперсия), конечно будет иметь место, если спектр сплошной или имеет зонную структуру. Но ведь может так случится, что деффектный участок цепочки будет локализовать колебания, тогда спектр будет дискретным. Я этого наверняка не знаю и, следовательно, не конкретизировал, что спектр обязательно будет непрерывным.

[LynxGAV]

Cпектр-то может быть и дискретным (в тех случаях, которые я видела так и есть), но с такой плотностью значений при "нанесении на бумагу" становится сплошным.

Что учат механики я не знаю, но, по-моему, это физика, как раз та, которой занимается механика сплошных сред .

[Freude]

Абсолютно согласен

[Freude]

И еще информация, которая, возможно, поможет в решении данной задачи. Мне кажется, что аналогом эффективной массы для этой задачи будет скорость звука в цепочке, возможно я ошибаюсь.

[LynxGAV]

Eto tol´ko esli v lineinoi chasti spektra.