Уравнение гармонических колебаний имеет вид

[AV777]

Уравнение гармонических колебаний имеет вид: ${x}=3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$ (м). Определите амплитуду, циклическую частоту, начальную фазу и период колебаний. Запишите дифференциальное уравнение этих колебаний.
Я нашёл сначала амплитуду ${A}=3$(м).
Нашёл циклическую частоту ${\omega}=\pi^-1$ (c).
Нашёл начальну фазу $\psi_0=\dfrac{\pi}{2}=$90^\circ$$. (градусов)
Нашёл период ${T}=\dfrac{2\pi}{\omega}=2$ (с)
Но как записать дифференциальное уравнение этих колебаний тут я призадумался. Думаю надо дифференцировать.

[gris]

Надо знать вид дифура для этого случая. Он связывает переменную и её вторую производную по времени. Так что дифференцировать можно и не один раз.

[AV777]

gris

${x}=3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$ (м) как я Вас понял нужно его продифференцировать по времени, значит координата ${x`(t)}=-3\pi\sin({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$
а вторая координата ${y}$ её тоже по времени разделять?

[gris]

Ну тут одна координата — $x$. Например, колебания грузика на пружине. Вот икс как функцию времени и продифференцируйте два раза.
Не забывайте, что в дифференциальном уравнении исчезнут фаза и амплитуда, и его надо дополнить начальными условиями.
А, понял "Разделить", нужно первую производную, чтобы получить вторую.

[AV777]

gris
${x``(t)}=3\pi^2\sin({\pi}{t})$
Как же так? График по игреку тоже проходит, а у Нас только одна координата. Объясните проще почему два раза?

Каким образом исчезнут фаза и амплитуда? Начальные условия - это к нулю приравнять диффренциал?

[gris]

Почти правильно. Только куда девались минус и начальная фаза?
Вы неправильно продифференцировали второй раз. Начальные условия можно найти из первоначального уравнения и первой производной. Подставим, например, $t=0$ и получим $x(0)=?; x'(0)=?$

[AV777]

gris

Минуса там не будет и начальной фазы тоже. Я уже раскусил.

[gris]

Как это не будет? $(\cos x)'=-\sin x;\;\;(\sin x)'=\cos x$
Амплитуда и начальная фаза пропадут в дифференциальном уравнении.

[AV777]

gris

Ой я перепутал синус и косинус. $(\cos{x})`=-\sin{x}$ да да прошу меня извинить за торопливость.

${x}=-3\pi^2\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$ (м)

[gris]

Итак,

${x}=3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$

${x'}=-3\pi\sin({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$

${x''}=-3\pi^2\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})=-\pi^2\cdot 3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$

И мы замечаем, что функция и её вторая производная очень похожи.

[_Ivana]

(Оффтоп)

И так далее без конца, как бесконечная цепь причин, сама себя порождающая и не имеющая начальной причины...

[AV777]

gris
так так похожи и отличаются друг от друга. Какой вывод из всего этого можно сделать?

[gris]

Ну если <нашу> вторую производную разделить на <нашу> функцию, что сократится, а что останется?

[AV777]

gris

$-\pi^2$
Как я понимаю это ответ

[gris]

$\dfrac {x''}{x}=-\pi^2$, то есть $x''=?$. Вам же уравнение нужно? Вот оно и получится.