Помогите решить уравнение в целых числах

[Rock`n`Rolla]

Сказали, что для решения этого уравнения не требуются какие-то особые знания, кроме школьного курса алгебры:
$2 \cdot x^2 - y^2 = 2^{x + y}$

[Cash]

На какую степень двойки может делиться выражение слева?

[Rock`n`Rolla]

На единицу логарифм от суммы икса и игрека по основанию два? А при чём здесь деление?

[Cash]

В равенстве левая и правая часть делятся на одну и ту же степень двойки.

[Rock`n`Rolla]

Cash в сообщении #824511 писал(а):

В равенстве левая и правая часть делятся на одну и ту же степень двойки.

Почему? Понял почему, но только какой из этого толк? Ну разделим мы обе части равенства на какое-нибудь число, что это нам даст?

[provincialka]

Не "разделим", а "делится". Вот например, $y$ - четное или нечётное?

[Rock`n`Rolla]

Чётное! Значит из левой части равенства можно вынести двойку! Только опять же, что это нам даёт?

[provincialka]

Ну, не обязательно четное. Одна из степеней двойки нечетна (нулевая степень). Это дает два решения. Дальше думайте, пробуйте.

[Rock`n`Rolla]

Не получается, не вижу решения. Дайте ещё какую-нибудь подсказку

[provincialka]

Например, $x=1, y=-1$. Знаки можно поменять. Общего решения пока не вижу.

[ewert]

provincialka в сообщении #824564 писал(а):

Например, $x=1, y=-1$. Знаки можно поменять. Общего решения пока не вижу.

Кажется, больше и нет (кроме, конечно, $x=1,\ y=0$).

Там так:

$$2^{2l+1}t^2-2^{2k}s^2=2^{2^lt+2^ks},$$

где $t,s$ -- нечётные. Если $l<k$, то должно быть $2^lt+2^ks-2l-1=0$, что возможно лишь при $l=0$ (иначе $2l+1$ не делится на $2^l$). Если же $l\geqslant k$, то $2^lt+2^ks-2k=0$, и по аналогичным причинам допустимы лишь $k=0,\;1,\;2$. Если рассмотреть случай $k=0$, т.е. $2^{2l+1}t^2-s^2=2^{2^lt+s}$, то подстановка $2^lt=-s$ даёт уравнение $2s^2-s^2=1$, т.е. $s=\pm1$ и т.д. А в остальных трёх вариантах уравнения после аналогичных подстановок получаются вроде бы нехорошие (хотя мог чего-то и зевнуть).

[ИСН]

$(-3,4)$

[nnosipov]

Год или два назад на какой-то олимпиаде ВШЭ для школьников предлагалось уравнение $3x^2-y^2 = 3^{x+y}$. Здесь наибольшее решение есть $(-6,9)$.

[ewert]

ИСН в сообщении #824633 писал(а):

$(-3,4)$

Ну а я об чём? -- ровно о том же: что лень было cчитать аккуратно.

Да, при $l<k$ получается

$2^lt+2^ks-2l-1=0\ \Rightarrow\ \Big[l=0\Big] \Rightarrow\ 2^ks=1-t\ \Rightarrow\ 2t^2-(1-t)^2=2^1\ \Rightarrow\ t^2+2t-3=0\ \Rightarrow\ t=-3$

(другой корень, $t=1$, не подходит под эту область). Я чего-то не то в правую часть тогда подставлял.

А два оставшихся случая, $k=1?\;2$ --действительно ничего не порождают? (мне по-прежнему лень)

[ИСН]

Нет. (Не читал, что такое Ваше $k$. Получил кондовую верхнюю оценку на всё, и переборчиком. Все решения, которые нашлись, уже приведены.)