2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение10.02.2014, 17:37 
Левая часть очень подходит для бесконечного числа циклов метода бесконечного спуска. Соблазнительно. Тогда надо показать, что на самом деле справа нельзя даже на 4 сократить, то есть $x+y=0$ или $x+y=1$. А тут мозгов не хватает.

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение10.02.2014, 18:52 
ИСН в сообщении #824658 писал(а):
Нет. (Не читал, что такое Ваше $k$. Получил кондовую верхнюю оценку на всё

А можете сказать как это сделать?

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение10.02.2014, 19:21 
Аватара пользователя
Внимательно посмотрев на свою оценку, я понял, что сделал её... неправильно :lol: Так что моё утверждение теряет характер абсолютной истины.

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение10.02.2014, 21:03 
Нетривиальная часть задачи сводится к тому, чтобы доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах при $x+y=n>1$.
Может это можно и в лоб доказать, но мне удобней выразив $y$ через $n$ и разобравшись с квадратным уравнением подучить формулировку: доказать, что уравнение $ 2n^2 + 2^n=t^2$ не имеет решения в целых числах при $ n>1$.
Действуя методом спуска, мы видим, на $k$-м шаге, который гарантирован, поскольку множество натуральных чисел имеет минимальный элемент, что $2+4^{2^{k-1}-k}=t_k^2$. Что невозможно, поскольку всякий четный квадрат равен $ 0 \bmod 4$.

PS. Я, собственно, написал поскольку не понял о какой оценке идет речь? Нельзя ли по подробнее.

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение10.02.2014, 22:37 
Наверное, действительно можно решить ничего не зная. Итак, предположим, что $x+y=n\ge 2$, содержательный случай. Тогда получаем $x=2x_1, y=2y_1$, и для новых переменных после сокращения на 4, что по предположению возможно и для правой части, получаем уравнение

$2x_1^2-y_1^2=2^{2n-2}.$

Получается, что левая часть равенства уменьшилась в 4 раза, а правая не уменьшилась, т.к.
$2^{2n-2}\ge 2^n, n\ge 2$. Итак, этот случай невозможен. Но $x+y$ отрицательное тоже невозможен. Осталось перебрать $x+y=0$ и $x+y=1$.

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение10.02.2014, 23:18 
Отчего же $2n$? Тогда уж $2n_1$ и все сокращается.

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение11.02.2014, 00:27 
PaxVobiscum в сообщении #825034 писал(а):
доказать, что уравнение $ 2n^2 + 2^n=t^2$ не имеет решения в целых числах при $ n>1$.
Пусть $n=2^at$, где t - нечетное. Тогда, в предположении, что $n>2a+1$, получим $2^{2a+1}(t^2+2^{n-2a-1})=t^2$
Выражение в скобках - нечетное...
А значит $n\le 2a+1$ или $2^at \le 2a+1$

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение11.02.2014, 22:07 
Слушайте, ну я вот, например, не знаю никаких спусков. А вот что в разложении любого числа на множители имеется вполне определённое количество двоек -- знаю. И что для слагаемых в левой части эти количества различны (просто в силу разной их чётности) -- просто бросается в глаза. Ну а тогда почему бы и не разделить всё на минимальную из тех двух степеней двойки?... И всё получается.

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение12.02.2014, 00:45 
Графически задача тоже решается, если построить линии уровней поверхности

$z=2x^2-y^2-2^{x+y}$

Изображение

4 голубенькие точки и есть решения.

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение12.02.2014, 07:36 
ewert в сообщении #825393 писал(а):
Слушайте, ну я вот, например, не знаю никаких спусков.
И не надо их в данном случае. Главная идея --- следить за степенями двойки (см. решение Shadow).
tatkuz1990 в сообщении #825449 писал(а):
Графически задача тоже решается, если построить линии уровней поверхности
:facepalm: Что за чушь?! Не решается, конечно.

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение16.02.2014, 13:28 
PaxVobiscum в сообщении #825034 писал(а):
Нетривиальная часть задачи сводится к тому, чтобы доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах при $x+y=n>1$.
Может это можно и в лоб доказать, но мне удобней выразив $y$ через $n$ и разобравшись с квадратным уравнением подучить формулировку: доказать, что уравнение $ 2n^2 + 2^n=t^2$ не имеет решения в целых числах при $ n>1$.
Действуя методом спуска, мы видим, на $k$-м шаге, который гарантирован, поскольку множество натуральных чисел имеет минимальный элемент, что $2+4^{2^{k-1}-k}=t_k^2$. Что невозможно, поскольку всякий четный квадрат равен $ 0 \bmod 4$.

PS. Я, собственно, написал поскольку не понял о какой оценке идет речь? Нельзя ли по подробнее.

Не пойму как у вас такое уравнение получается: $ 2n^2 + 2^n=t^2$ ?

 
 
 
 Re: Помогите решить уравнение в целых числах
Сообщение16.02.2014, 19:10 
Rock`n`Rolla в сообщении #827139 писал(а):
Не пойму как у вас такое уравнение получается: $ 2n^2 + 2^n=t^2$ ?
Дискриминант квадратного уравнения после замены $y=n-x$

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group